Hölder不等式 凸包

hbghlyj

为了更好地理解 Hölder不等式，使用凸包的概念是有帮助的。

假设我们想要估计
\[
    \sum a_n^5 b_n^2
\]
已知
\[ \sum |a_n|^4 |b_n|^2,\quad
    \sum |a_n|^8,\quad
    \sum |b_n|^8,\quad
\]
我们如何快速判断这些信息是否足够？其次，我们如何选择Hölder不等式中的系数？

这种类型的问题在解析数论中很常见。

Hölder不等式表明，\( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)
\[
    \Big|\sum a_n b_n\Big|
    \leq
    \Big(\sum |a_n|^p\Big)^{\frac{1}{p}}
    \Big(\sum |b_n|^q\Big)^{\frac{1}{q}}
\]
这里的关键见解是通过插值的几何视角，从点\((p,0)\)和\((0,q)\)的信息推导出点\((1,1)\)的信息。
条件\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)确保了这三个点在一条直线上。

为了在点\((u,v)\)处获得信息，对于
\[
    \Big|\sum a_n^u b_n^v\Big|,
\]
只需已知
\[
    \sum |a_n|^{u_i} |b_n|^{v_i}
\]
并且\((u,v)\)在三个点的凸包内。

估计中的系数由\((u,v)\)在三角形\((u_1,v_1),(u_2,v_2),(u_3,v_3)\)内的凸线性组合系数给出。

hbghlyj

可否推广到$\Big|\sum a_n^u b_n^vc_n^w\Big|$，估计中的系数由\((u,v,w)\)在四面体\((u_i,v_i,w_i),i=1,2,3,4\)内的凸线性组合系数给出吗