与球外接的棱长范围

力工

正四面体$PABC$内接于球，$D$为棱$AB$上一点，且$AD=3DB$，
若过点$D$的截面中存在面积为$3\pi$的截面圆，求正四面体棱长
的取值范围。
不知怎么下手。

kuing

设球半径为 r，球心为 O，
当截面过 O 时截面圆最大，面积为 `\pi r^2`；
当截面垂直于 OD 时截面圆最小，这需要计算 OD 的长度（用 r 表示），由此算出此时截面圆的面积。（记此时面积为 S(r)，具体我不想算了）
然后让 `3\pi` 在 `[S(r),\pi r^2]` 中，解出 `r` 的范围，从而得棱长范围。