外接球

guanmo1

四面体，两对对棱为3，还有一对对棱长分别为根号6和两倍根号3，求其外接球半径。

kuing

若四面体 `AB=2a`, `CD=2b` 且其余四条棱长均为 `m`，设外接球半径为 `R`，取 `AB`, `CD` 中点 `E`, `F`，记球心为 `O`，则有
\begin{align*}
EC&=ED=\sqrt{m^2-a^2},\\
OE&=\sqrt{R^2-a^2},\\
OF&=\sqrt{R^2-b^2},
\end{align*}
显然 `O` 在直线 `EF` 上，故
\[EC^2=CF^2+EF^2=CF^2+(OE\pm OF)^2,\]
即
\[m^2-a^2=b^2+\bigl(\sqrt{R^2-a^2}\pm\sqrt{R^2-b^2}\bigr)^2,\]
解得
\[R=\frac12\sqrt{\frac{m^4-4a^2b^2}{m^2-a^2-b^2}}.\]

guanmo1

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