一道几何题，潘老师的

几何小迷

四边形ABTG、ACDE是正方形,线段BC中点K
求证 △TEK面积=△GDK面积

地狱的死灵

把要证的面积相等转化为向量积（下面的运算都是向量），
即证KG×KD=KT×KE。
KG×KD=(KT+TG)×KD=KT×KD+BA×KD
KT×KE=KT×(KD+DE)=KT×KD+KT×CA
只要证BA×KD=KT×CA
BA×KD=BA×(KA+AD)=BA×KA-AB×AD
KT×CA=(KA+AT)×CA=KA×CA-AT×AC
把相关线段连起来，
注意到△BAK与△KAC面积相等，
所以BA×KA=KA×CA，
易证△TAC与△BAD面积相等，
所以AB×AD=AT×AC……

kuing

大概这样子吧

其妙

△DEF是△ABC垂足三角形,
点I、J、G分别是△DEC、△BDF、△AEF内心,
直线IG、GJ、IJ交直线AB、AC、BC分别于H、L、M、N、P、Q.
求证 $\frac{C H}{L B} \cdot \frac{M B}{A N} \cdot \frac{P A}{C Q}=1$.

其妙

回复 5# 其妙
怎么不做啦？被我说的吓住了？
不过我正准备再转载的他的新题，看了这道题都还没动，我就不准备转载他的原创第三道了

kuing

大概这样子吧
kuing 发表于 2013-7-3 15:12

补充一下当天粉丝群里的一段记录

地狱的死灵(4040*****) 15:59:31
这样还是要证那三点共线，
好像也不简单
kuing/fj/zhj 16:04:45
也可以不用证三点共线，先证 S_ATE=S_AGD（用 1/2absinC），然后就只要证 S_ATKE=S_AGKD，这样就可以直接用 AK*那两条高

其实证共线也不难

作 $CH \perp AB$ 于 $H$，设 $AG$ 交 $AH$ 于 $Q$，则
\[\tan \angle QBH=\frac{QH}{HB}=\frac{QH}{GJ}=\frac{AH}{AJ}=\frac{EI}{IB}=\tan \angle EBI,\]
故 $B$, $Q$, $E$ 三点共线，即 $BE$, $AG$, $CH$ 三线共点。

乌贼

其妙 发表于 2013-7-4 22:10

先证明$ CI\perp GJ $，再证$ LM\px AC $即可

乌贼

先证$ AG\perp JI $。
      
      延长$ CT $交$ FJ $于$ K $，有\[ \angle KTJ=\angle KJT=\dfrac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)\riff\angle TKJ=\angle BAC \]即$ AFKC $四点共圆。
     延长同理$ AT $交$ DJ $于$ R $，同理有$ ARDC $四点共圆，也就有$ AFKRDC $六点共圆。
    又\[ \angle IDC=\angle JDB=\dfrac{1}{2}\angle BAC=\dfrac{1}{2}\angle TKJ \]故$ IKJD $四点共圆，所以\[ \angle IJD=\angle IKD=\angle CAD \]加之\[ \angle ARJ=\angle ACD \]因此\[ \angle IJD+\angle ARJ=\angle CAD+\angle ACD=90\du  \]得证



再证$ LK\px AC $
      
       由$ AG\perp JI $有\[ \angle TIJ=\angle MBJ\riff \triangle TJI\sim \triangle MJB\riff TJ\cdot JB=MJ\cdot JI \]同理，由$ CI\perp JG $得\[ TJ\cdot JB=LJ\cdot JG \]故\[ MJ\cdot JI=LJ\cdot JG\riff\triangle MJL\sim \triangle GJI\riff\angle MLJ=\angle GIJ=\dfrac{1}{2}(\angle ABC+\angle CAB) \]又\[ \angle JLC=\angle JBL+\angle LJB=\angle JBL+\angle TAB=\dfrac{1}{2}(\angle ABC+\angle CAB)\]所以\[ \angle MLB=180\du -\angle ABC-\angle CAB=\angle ACB \]即\[ LM\px AC \]同理有\[ PN\px BC \]\[ HQ\px AB \]即有\[ \dfrac{CH}{LB}\cdot \dfrac{MB}{AN}\cdot \dfrac{PA}{CQ}=\dfrac{CH}{CQ}\cdot \dfrac{MB}{LB}\cdot \dfrac{PA}{NA}=\dfrac{CB}{CA}\cdot \dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{AC}{AB}=1 \]

hbghlyj

初联几何100题（94）