$D_4$得出不同根式

hbghlyj

如何证明
\[\frac{\sqrt{29}}2+\sqrt{7+\sqrt{29}\over2}=\frac{(3+\sqrt5)\sqrt{38-14 \sqrt{5}}}{8}+\sqrt{\left(\frac{(3+\sqrt5)\sqrt{38-14 \sqrt{5}}-4}{8}\right)^2-\sqrt{5}+\sqrt{38-14 \sqrt{5}}+7}\]左边不含$\sqrt{5}$，右边含$\sqrt{5}$，为什么会这样呢

验证：wolframalpha.com/input?i=sqrt%2829%29%2F2%2Bsqrt%281%2F2%287%2Bs ... 2B4%29%2F8%29%5E2%29

hbghlyj

用cubicquartic.pdf的圖，可以看出，从$K$到$r_1$有兩條路徑：
紅色：走$K\leqslant L\leqslant K(r_1)$，包含$r_1$，這條路較短。
藍色：走$K\leqslant K(\sqrt{\Delta})\leqslant ?\leqslant K(r_1,r_2,r_3)$，也包含$r_1$，但這條路較長。

$K=\Bbb Q$
$L=K(\sqrt{29})$
$K(\sqrt{\Delta})=K(\sqrt{5})$
那些問號是什麼？能不能寫出來呢

hbghlyj

$D_4$的subgroup包含关系图（蓝色是$D_4$的normal subgroup）
$$\xymatrix{
&& *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{D_4}} \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr]\\
& *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{C_2^2}} \ar@{-}[d] \ar@{-}[dl] \ar@{-}[dr] & *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{C_4}} \ar@{-}[d] & *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{C_2^2}} \ar@{-}[d] \ar@{-}[dl] \ar@{-}[dr] \\
*+[F-:<3pt>]{C_2} \ar@{-}[drr] & *+[F-:<3pt>]{C_2} \ar@{-}[dr] & *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{C_2}} \ar@{-}[d] & *+[F-:<3pt>]{C_2} \ar@{-}[dl] & *+[F-:<3pt>]{C_2} \ar@{-}[dll] \\
&& *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{C_1}} &
}$$
$D_4$ 有 3 个maximal normal subgroup：$C_4,\overbrace{C_2^2}^{\text{左数第1个}},\overbrace{C_2^2}^{\text{左数第2个}}$
$C_4$ 只有 1 个normal subgroup，每个$C_2^2$ 有 3 个normal subgroup，
这样的话，$D_4$ 有多个 composition series
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第3个}} ◃ C_4 ◃ D_4$$
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第1个}}◃ \overbrace{C_2^2}^{\text{左数第1个}} ◃ D_4$$
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第2个}} ◃ \overbrace{C_2^2}^{\text{左数第1个}} ◃ D_4$$
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第3个}} ◃ \overbrace{C_2^2}^{\text{左数第1个}} ◃ D_4$$
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第3个}}◃ \overbrace{C_2^2}^{\text{左数第2个}} ◃ D_4$$
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第4个}} ◃ \overbrace{C_2^2}^{\text{左数第2个}} ◃ D_4$$
$$\{e\} ◃ \overbrace{C_2}^{\text{左数第5个}} ◃ \overbrace{C_2^2}^{\text{左数第2个}} ◃ D_4$$

hbghlyj

$f\inQ[x]$，
$α_1,α_2,α_3,α_4$是$f$的根（与2#的$r_1,r_2,r_3,r_4$顺序不同，所以换了字母来区分），
$F=\Bbb Q[α_1,α_2,α_3,α_4]$，
若$\operatorname{Gal}(F:\Bbb Q)=D_4=⟨(1234),(12)(34)⟩$，其中的$C_4$是$⟨(1234)⟩$，那么$C_4$中的$C_2$是$⟨(13)(24)⟩$.

$⟨(13)(24)⟩$的fixed field，$F^{⟨(13)(24)⟩}$，注意到$[F:F^{⟨(13)(24)⟩}]=2$，只需在$F∖ F^{⟨(13)(24)⟩}$找一个数。
$$α_1-α_3∈ F∖ F^{⟨(13)(24)⟩}$$
而
$$(α_1-α_3)^2∈ F^{⟨(13)(24)⟩}$$
则$F=F^{⟨(13)(24)⟩}[α_1-α_3]$.

$⟨(1234)⟩$的fixed field，$F^{⟨(1234)⟩}$，注意到$[F^{⟨(13)(24)⟩}:F^{⟨(1234)⟩}]=2$，只需在$F^{⟨(13)(24)⟩}∖ F^{⟨(1234)⟩}$找一个数。
$$α_1-α_2+α_3-α_4∈ F^{⟨(13)(24)⟩}∖ F^{⟨(1234)⟩}$$
而
$$(α_1-α_2+α_3-α_4)^2∈ F^{⟨(1234)⟩}$$
则$F^{⟨(13)(24)⟩}=F^{⟨(1234)⟩}[α_1-α_2+α_3-α_4]$.

$\Bbb Q=F^{⟨(1234),(12)(34)⟩}$，注意到$[F^{⟨(1234)⟩}:F^{⟨(1234),(12)(34)⟩}]=2$，只需在$F^{⟨(1234)⟩}∖ F^{⟨(1234),(12)(34)⟩}$找一个数。
$$(α_1-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_2+α_3-α_4)∈ F^{⟨(1234)⟩}∖ F^{⟨(1234),(12)(34)⟩}$$
而
$$((α_1-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_2+α_3-α_4))^2∈ F^{⟨(1234),(12)(34)⟩}$$
则$F^{⟨(1234)⟩}=\Bbb Q[(α_1-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_2+α_3-α_4)]$.

结合3个等式，$F=\Bbb Q[(α_1-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_2+α_3-α_4)][α_1-α_2+α_3-α_4][α_1-α_3]$.

hbghlyj

$f\inQ[x]$，
$α_1,α_2,α_3,α_4$是$f$的根，
$F=\Bbb Q[α_1,α_2,α_3,α_4]$，
若$\operatorname{Gal}(F:\Bbb Q)=D_4=⟨(13),(24),(12)(34)⟩$，其中的$C_2^2$是$⟨(13),(24)⟩$，那么$C_2^2$中的3个$C_2$是$⟨(13)⟩,⟨(24)⟩,⟨(13)(24)⟩$.

$⟨(13)⟩$的fixed field，$F^{⟨(13)⟩}$，注意到$[F:F^{⟨(13)⟩}]=2$，只需在$F∖ F^{⟨(13)⟩}$找一个数。
$$α_1-α_3∈ F∖ F^{⟨(13)⟩}$$
而
$$(α_1-α_3)^2∈ F^{⟨(13)⟩}$$
则$F=F^{⟨(13)⟩}[α_1-α_3]$.

$⟨(13),(24)⟩$的fixed field，$F^{⟨(13),(24)⟩}$，注意到$[F^{⟨(13)⟩}:F^{⟨(13),(24)⟩}]=2$，只需在$F^{⟨(13)⟩}∖F^{⟨(13),(24)⟩}$找一个数。
$$α_2-α_4∈F^{⟨(13)⟩}∖F^{⟨(13),(24)⟩}$$
而
$$(α_2-α_4)^2∈F^{⟨(13),(24)⟩}$$
则$F^{⟨(13)⟩}=F^{⟨(13),(24)⟩}[α_2-α_4]$.

$\Bbb Q=F^{⟨(13),(24),(12)(34)⟩}$，注意到$[F^{⟨(13),(24)⟩}:F^{⟨(13),(24),(12)(34)⟩}]=2$，只需在$F^{⟨(13),(24)⟩}∖F^{⟨(13),(24),(12)(34)⟩}$找一个数。
$$α_1-α_2+α_3-α_4∈F^{⟨(13),(24)⟩}∖F^{⟨(13),(24),(12)(34)⟩}$$
而
$$(α_1-α_2+α_3-α_4)^2∈F^{⟨(13),(24),(12)(34)⟩}$$
则$F^{⟨(13),(24)⟩}=F^{⟨(13),(24),(12)(34)⟩}[α_1-α_2+α_3-α_4]$.

结合3个等式，$F=\Bbb Q[α_1-α_2+α_3-α_4][α_2-α_4][α_1-α_3]$.

从这里还可以看出：
因为$α_1+α_2+α_3+α_4\inQ$，
所以$\Bbb Q[α_1-α_2+α_3-α_4]=\Bbb Q[α_2+α_4]$，
所以$α_2+α_4,α_2-α_4\in\Bbb Q[α_1-α_2+α_3-α_4][α_2-α_4]$，
所以$α_2,α_4\in\Bbb Q[α_1-α_2+α_3-α_4][α_2-α_4]$，
所以$\Bbb Q[α_1-α_2+α_3-α_4][α_2-α_4]\color{red}{=\Bbb Q[α_2]}$，和2#的图表相符！

hbghlyj

$f\inQ[x]$，
$α_1,α_2,α_3,α_4$是$f$的根，
$F=\Bbb Q[α_1,α_2,α_3,α_4]$，
若$\operatorname{Gal}(F:\Bbb Q)=D_4=⟨(13),(24),(12)(34)⟩$，其中的$C_2^2$是$⟨(12)(34),(13)(24)⟩$，那么$C_2^2$中的3个$C_2$是$⟨(12)(34)⟩,⟨(14)(23)⟩,⟨(13)(24)⟩$.

上面得到了$F=F^{⟨(13)(24)⟩}[α_1-α_3]$，这里不再重复.

$⟨(12)(34),(13)(24)⟩$的fixed field，$F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}$，注意到$[F^{⟨(13)(24)⟩}:F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}]=2$，只需在$F^{⟨(13)(24)⟩}∖F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}$找一个数。
$$α_1-α_2+α_3-α_4∈F^{⟨(13)(24)⟩}∖F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}$$
而
$$(α_1-α_2+α_3-α_4)^2∈F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}$$
则$F^{⟨(13),(24)⟩}=F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}[α_1-α_2+α_3-α_4]$.

$\Bbb Q=F^{⟨(12)(34),(13)(24),(13)⟩}$，注意到$[F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}:F^{⟨(12)(34),(13)(24),(13)⟩}]=2$，只需在$F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}∖F^{⟨(12)(34),(13)(24),(13)⟩}$找一个数。
$$(α_1-α_3)(α_2-α_4)∈F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}∖F^{⟨(12)(34),(13)(24),(13)⟩}$$
而
$$((α_1-α_3)(α_2-α_4))^2∈F^{⟨(12)(34),(13)(24),(13)⟩}$$
则$F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}=F^{⟨(12)(34),(13)(24),(13)⟩}[(α_1-α_3)(α_2-α_4)]$.

结合3个等式，$F=\Bbb Q[(α_1-α_3)(α_2-α_4)][α_1-α_2+α_3-α_4][α_1-α_3]$.

从这里还可以看出：
$⟨(12)(34),(13)(24)⟩=⟨(13),(24),(12)(34)⟩\cap A_4$，
所以$F^{⟨(12)(34),(13)(24)⟩}=\Bbb Q[(α_1-α_3)(α_2-α_4)]\color{red}{=\Bbb Q[\sqrt{\Delta}]}$，和2#的图表相符！

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-25 17:18
那些問號是什麼？能不能寫出來呢

由4#,5#,6#可以写出：
（蓝色是$K$的normal extension）
$$\xymatrix{
&& *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{K[α_1,α_2,α_3,α_4]}}\\
*+[F-:<3pt>]{K(α_1)=K(α_3)} \ar@{-}[urr] & *+[F-:<3pt>]{K(α_2)=K(α_4)} \ar@{-}[ur] & *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{K\small[(α_1-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_2+α_3-α_4)][α_1-α_2+α_3-α_4]}} \ar@{-}[u ] & *+[F-:<3pt>]{K[\sqrt{\Delta}][α_1-α_2-α_3+α_4]} \ar@{-}[ul] & *+[F-:<3pt>]{K[\sqrt{\Delta}][α_1+α_2-α_3-α_4]=K[\sqrt{\Delta}][α_1-α_2-α_3+α_4]} \ar@{-}[ull] \\
& *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{K(α_1+α_3)=K(α_2+α_4)}} \ar@{-}[u ] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] & *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{K[(α_1-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_2+α_3-α_4)]}} \ar@{-}[u ] & *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{K[(α_1-α_3)(α_2-α_4)]=K[\sqrt{\Delta}]}} \ar@{-}[u ] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] \\
&& *+[F-:<3pt>]{\color{blue}{K}} \ar@{-}[ul] \ar@{-}[u ] \ar@{-}[ur]\\
}$$
不知道对不对？

发到MSE问下，
math.stackexchange.com/questions/4909783/galois-group-of-a-quart ... subfields-explicitly