证明两点之间线段最短(双曲平面)

hbghlyj

Cayley-Klein metric的定义见Chapter five
$ d$是圆盘$ {\cal D}$的一个度量. (这个度量空间叫做双曲平面的Cayley-Klein模型.在2#证明它满足两点之间线段最短)
证明:
易证$d$满足正定性、对称性.下面证明Cayley-Klein metric满足三角不等式.
最后归结为这样一个问题:

Exercise 5.7. 点$X,Y,Z$是圆内的点, 直线$XY$与圆的交点为$A,B$(顺序使得$\abs{X-A}<\abs{Y-A}$). 类似定义$C,D,E,F$. 直线$AC,BD$交于圆外一点$O$. 直线$AC,OY,BD$交$EF$于点$P,Q,R$. 则\[\frac{|X-R|}{|X-P|} \frac{|Z-P|}{|Z-R|} >\frac{|X-F|}{|X-E|} \frac{|Z-E|}{|Z-F|}\]

证明

由直线$EF$上点的顺序得\begin{align*}
\frac{|X-R|}{|Z-R|}&>\frac{|X-F|}{|Z-F|}\\
\frac{|Z-P|}{|X-P|}&>\frac{|Z-E|}{|X-E|}
\end{align*}两式相乘即得证

hbghlyj

Definition 5.1 度量空间$ (M,d)$. 设 $ \gamma: [a,b] \rightarrow M$ 为连续曲线. 定义 $ \gamma$ 的长度为

$\displaystyle \sup \Big\{ \sum_{i = 0}^{n-1} d(\gamma(t_{i}),\gamma(t_{i+1})) : a = t_{0} < \cdots < t_{n} = b$    is a partition of $\displaystyle [a,b] \Big\} $

曲线 $ \gamma$ 称为 geodesic segment, 若它的长度等于$d(a,b)$.

Exercise 5.8 双曲平面的Cayley-Klein模型$\cal D$中, 线段为geodesic segment.

证明

$X,Y∈\cal D$, 设$Z$是线段$XY$上的任意点, 有恒等式
\[\frac{|X-B|}{|X-A|} \frac{|Z-A|}{|Z-B|}\frac{|Z-B|}{|Z-A|} \frac{|Y-A|}{|Y-B|}=\frac{|X-B|}{|X-A|} \frac{|Y-A|}{|Y-B|}\]
取$\log$得
\[\log\left(\frac{|X-B|}{|X-A|} \frac{|Z-A|}{|Z-B|}\right)+\log\left(\frac{|Z-B|}{|Z-A|} \frac{|Y-A|}{|Y-B|}\right)=\log\left(\frac{|X-B|}{|X-A|} \frac{|Y-A|}{|Y-B|}\right)\]
即$d(X,Z)+d(Z,Y)=d(X,Y)$