不会的解方程组 $x+\frac1{x^3}=2y$，$y+\frac1{y^3}=2z$…

isee

源自 7 月份知乎付费频道

题：若实数 $x,y,z,w$ 满足 $x+\dfrac1{x^3}=2y$，$y+\dfrac1{y^3}=2z$，$z+\dfrac1{z^3}=2w$，$w+\dfrac1{w^3}=2x$，求 $x,y,z,w$ 的值.

Czhang271828

注意到解同号且关于 $\pm $ 对称, 从而不妨设 $x,y,z,w>0$. 注意到
$$
x^2+x^{-2}=2xy\geq 2,
$$
从而相邻字母乘积大于等于 $\color{red}1$. 注意到
$$
\begin{align*}
2(y+z)&=(x+ y)+\dfrac{y^3+x^3}{x^3y^3}=(x+y)\cdot \dfrac{x^3y^3+x^2-xy+y^2}{x^3y^3},\\[8pt]
2(y-z)&=(x- y)+\dfrac{y^3-x^3}{x^3y^3}=(x-y)\cdot \dfrac{x^3y^3-x^2-xy-y^2}{x^3y^3}.
\end{align*}
$$
从而
$$
\prod\left(\dfrac{x^3y^3-xy-x^2-y^2}{x^3y^3}\right)=\prod\left(\dfrac{x^3y^3-xy+x^2+y^2}{x^3y^3}\right)=16.
$$
根据 $xy\geq1$ 得 $x^3y^3-xy\geq 0$, 从而
$$
|x^3y^3-xy-(x^2+y^2)|\leq |x^3y^3-xy+(x^2+y^2)|.
$$
取等当且仅当 $xy=yz=zx=xw=1$. 此时 $x^2+x^{-2}=2xy=2$, 故 $x=1$.

Czhang271828

建议加个"知乎付费频道"的链接, 以及分类可以选 [函数] 或者 [不等式].

kuing

付费频道是啥？

PS、标签不对，这种并不属于“不定方程”

kuing

打不开，显示“看起来，你没有权限哦～”

进入楼上点评里的链接，显示：
开通咨询服务
恭喜获得付费咨询服务开通资格，点击下方按钮了解并申请加入
申请成为答主

点“申请成为答主”之后，进去里面还要考试？
算了，有空再说

isee

kuing 发表于 2023-8-25 14:29
打不开，显示“看起来，你没有权限哦～”

进入楼上点评里的链接，显示：

哈哈哈哈哈，开呗，如果不想时常被打扰，又（他人）真的有难解之疑，建议单价高点~

Czhang271828

类似地, 令 $f(x)=\dfrac{x+x^{-3}}{2}$, 记 $f_{1}(x)=f(x)$, $f_{n+1}(x)=f_n(f(x))$, 则对任意 $n$, $f_n(x)=x$ 的解只有 $\pm 1$.

isee

Czhang271828 发表于 2023-8-25 14:48
类似地, 令 $f(x)=\dfrac{x+x^{-3}}{2}$, 记 $f_{1}(x)=f(x)$, $f_{n+1}(x)=f_n(f(x))$, 则对任意 $n$, $f_ ...

能不能将2#解法截图截给曾经的向我付费的提问者？

Czhang271828

isee 发表于 2023-8-25 14:58
能不能将2#解法截图截给曾经的向我付费的提问者？

记得附上论坛链接即可