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本帖最后由 isee 于 2023-7-4 13:52 编辑 源自知乎 6 月份一付费咨询，后来通过提问者知原来早在两年多前也在知乎公开提问过.
我的构造证明有争议，此处不发过程，看看是否能纯平几法解决.
题：在$\triangle BCD$中，点 $A$ 为$BD$边一 点，满足$BA=BC$，$BD=AC$，若$\angle BCD=50^\circ$，求证：$\angle B=100^\circ$.
三角法可证：此命题是正确的.
证：记$\angle D=x$，$\angle ACD=y$，则由$BA=BC$有
$50^\circ-y=\angle ACB=\angle CAB=x+y$，即$y=\frac{50^\circ-x}2$，
所以$\angle ACB=\angle CAB=\frac{50^\circ+x}2$.
在$\triangle ABC$和$\triangle BCD$中，分别由正弦定理可知
\begin{gather*}
\frac{\sin\frac{50^\circ+x}2}{\sin(x+50^\circ)}=\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{BD}=\frac{\sin x}{\sin 50^\circ},\\
\frac{\sin\frac{50^\circ+x}2}{2\sin\frac{50^\circ+x}2\cos\frac{50^\circ+x}2}=\frac{\sin x}{\cos 40^\circ},\\
\sin x\cos\frac{50^\circ+x}2=\sin30^\circ\cos40^\circ,\tag{01}\label{eq01}
\end{gather*}
又$0<x<\angle CAB=\angle ACB<50^\circ$，设
\begin{align*}
f(x)&=\color{blue}{\sin x\cos\frac{50^\circ+x}2-\sin30^\circ\cos40^\circ},\\
f'(x)&=\cos x\cos\frac{50^\circ+x}2-\frac12\sin x\sin\frac{50^\circ+x}2\\
&=\frac12\big({\cos x\cos\frac{50^\circ+x}2+\cos\frac{50^\circ+3x}2}\big),
\end{align*}
当$x\in (0,50^\circ)$时，$y=\cos x\cos\frac{50^\circ+x}2+\cos\frac{50^\circ+3x}2$ 是单调递减的($\cos x,\cos\frac{50^\circ+x}2$单调递减且为正，$\cos\frac{50^\circ+3x}2$也是单调递减的)，即$f'(x)$是单调递减，从而\[f'(x)>f'(50^\circ)=\frac12\big(\cos^2 50^\circ+\cos100^\circ\big)=\frac{1-3\sin10^\circ}4>0.\]
（这是因为$3\sin10^\circ=3\sin\dfrac{\pi}{18}<3\cdot \dfrac\pi{18}<1$.)
这表明$\color{blue}{f(x)}$ 是增函数，而观察出\[f(30^\circ)=0,\]从而\eqref{eq01} 有惟一解$x=30^\circ=\angle D$，即有\[\angle B=100^\circ,\]得证.
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乌贼
发表于 2023-7-4 12:59
