三角形中求角的值

lemondian

如图，在$\triangle ABC$中，已知$\angle CAB=30^0,\angle CBA=80^0,DE\px AB,\angle ABD=\angle DBC$，求$\angle EAC$。

kuing

设所求角为 `x`，由平分线及平行易知 `\angle EDB=\angle EBD=40\du`，所以有
\begin{gather*}
ED=EB,\\
\frac{ED}{EA}=\frac{EB}{EA},\\
\frac{\sin x}{\sin150\du}=\frac{\sin(30\du-x)}{\sin80\du},\\
2\sin x\cos10\du=\sin(30\du-x),
\end{gather*}
显然 `x=10\du` 恰好符合两倍角公式，而左右单调性相反，故此为唯一解。

lemondian

kuing 发表于 2024-12-26 21:54
设所求角为 `x`，由平分线及平行易知 `\angle EDB=\angle EBD=40\du`，所以有
\begin{gather*}
ED=EB,\\

原来如此！NB
我以为是用角元塞瓦定理来搞，结果弄不来。
不知有没有其它解法？