求三角形中某个角的度数

走走看看

求∠BAP的角度。

走走看看

在抖音中有人问，有人回答构建两个正三角形，其中一个是以AB为边的，另一个没说，但还是没有找到思路。我把它按照左右对称的思路做辅助线，没有解出。答案是18°，用画板测量出来的。

要求用初中几何知识求解。

走走看看

走走看看 发表于 2023-7-2 15:25
在抖音中有人问，有人回答构建两个正三角形，其中一个是以AB为边的，另一个没说，但还是没有找到思路。我把 ...

有人说用：角元塞瓦定理。不过，这显然超纲了。
360doc.com/content/20/0905/22/32901809_934172421.shtml

用平面几何尝试了几次，没有成功。

乌贼

Czhang271828

该写的还是写一下吧, 尽量控制在初中竞赛范围内的暴力三角法:

三角函数法

直接正弦定理试试. 采用角度制, 记 $\angle BAP=24-x$, $\angle PAC=24+x$. 则
$$
\begin{align*}
\dfrac{|PB|}{|PA|}&=\dfrac{|PC|}{|PA|}\\[8pt]
\dfrac{\sin (24+x)}{\sin (24-x)}&=\dfrac{\tan 24+\tan x}{\tan 24-\tan x}=\dfrac{\sin 54}{\sin 30}\\[8pt]
\tan x&=\tan 24\cdot \dfrac{\sin 54-\sin 30}{\sin 54+\sin 30}\\[8pt]
&=\tan 24\cdot \dfrac{\sin 12\cos 42}{\sin 42\cos 12}\\[8pt]
&=\tan 24\cdot \dfrac{\sin 12\sin 48}{\cos 48\cos 12}\\[8pt]
&=\tan 12\tan 24\tan 48\\[8pt]
\end{align*}
$$
然后简单了, 依照三倍角公式得
$$
\begin{align*}
\tan 3x&=\tan x\tan (60-x)\tan (60+x),\\[8pt]
\tan 36&=\tan 12\tan 48\tan 72,\\[8pt]
\tan 72&=\tan 24\tan 36\tan 84.\\
\end{align*}
$$
相乘得, $\tan 12\tan 24\tan 48\tan 84=1$, 因此 $x=90-84=6$.

乌贼

Czhang271828 发表于 2023-7-3 13:12
该写的还是写一下吧, 尽量控制在初中竞赛范围内的暴力三角法:

已经写了，$ PD $为$ BC $的垂直平分线，$ \triangle BDF $为正三角形，$ \angle CDE=24\du $
\[ \triangle DPF\cong\triangle DEC\riff DA=DE=DP\riff\angle DAP=18\du \]

TSC999

用复解析几何法做，不需添加辅助线，不用太动脑子。套用已知公式按步就班即可。

走走看看

谢谢各位大师的精彩解答！💯

isee

如图，作角DCP=角DBP=30度，则等腰三角形DBC，从而角PDC=36度.
以CD向右作正三角形DCE，则由条件知角FCE=36度，再作角CEF=30度交AC于F，从而三角形DPC 全等于 三角形CFE（边角边），即有DP=FC.
另一方面角CEF=30度，由正三角DCE的对称性，知FC=FD=DP，即有角FDC=角FCD=24度，从而可得正三角形DPF.
进一步知角DFA=角DAF=48度，故DF=DA.
即D为三角形APF的外接圆的圆心，所以角PAF=角角PDF/2=30度，也就有角BAP=18度.

isee

乌贼 发表于 2023-7-3 11:50

我最后“落脚点”原来和你是一样的