该写的还是写一下吧, 尽量控制在初中竞赛范围内的暴力三角法:
三角函数法直接正弦定理试试. 采用角度制, 记 $\angle BAP=24-x$, $\angle PAC=24+x$. 则
$$
\begin{align*}
\dfrac{|PB|}{|PA|}&=\dfrac{|PC|}{|PA|}\\[8pt]
\dfrac{\sin (24+x)}{\sin (24-x)}&=\dfrac{\tan 24+\tan x}{\tan 24-\tan x}=\dfrac{\sin 54}{\sin 30}\\[8pt]
\tan x&=\tan 24\cdot \dfrac{\sin 54-\sin 30}{\sin 54+\sin 30}\\[8pt]
&=\tan 24\cdot \dfrac{\sin 12\cos 42}{\sin 42\cos 12}\\[8pt]
&=\tan 24\cdot \dfrac{\sin 12\sin 48}{\cos 48\cos 12}\\[8pt]
&=\tan 12\tan 24\tan 48\\[8pt]
\end{align*}
$$
然后简单了, 依照三倍角公式得
$$
\begin{align*}
\tan 3x&=\tan x\tan (60-x)\tan (60+x),\\[8pt]
\tan 36&=\tan 12\tan 48\tan 72,\\[8pt]
\tan 72&=\tan 24\tan 36\tan 84.\\
\end{align*}
$$
相乘得, $\tan 12\tan 24\tan 48\tan 84=1$, 因此 $x=90-84=6$. | 
乌贼
Posted at 2023-7-3 11:50:25
