等腰三角形中求角

isee

已知：点$P$为$\triangle ABC$内一点，满足$\angle PAC=30^\circ$，$\angle PAB=6^\circ$，$\angle PBA=48^\circ$，$\angle PBC=24^\circ$.
求：$\angle PCB$.

isee

和以前一求角类似(三角方法，且似乎要易一点点)，都是黄金三角形中求角，且答案也在链接7楼中。

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被问到了，不得不写，哈哈哈哈哈。



一个半平几半三角法。

在三角形$ABC中$，由正弦定理有

$$\frac {BC}{AB}=\frac{\sin 36^\circ}{\sin 72^\circ}=\frac 1{2\cos 36^\circ}=\frac 1{2\sin 54^\circ}.$$

如图，在三角形内作$\angle DAC=6^\circ$，$BD$为角$ABP$的平分线，两直线相交于点$D$.

于是$\angle DAP=24^\circ=\angle DBP$，即$A$，$B$，$P$，$D$四点共圆.

所以$\angle BDP=\angle BAP=6^\circ$.

在三角形$ABD$中，由正弦定理有

$$\frac {BD}{AB}=\frac {\sin 30^\circ}{\sin 54^\circ}=\frac 1{2\sin 54^\circ}=\frac {BC}{AB}.$$

即$BD=BC$.

进一步可知$\triangle BPC\cong \triangle BPD$，于是$\angle BCP=\angle BDP=6^\circ$.