求角度大小

aishuxue

已知CM=2BC, ∠CAM=∠ABM=45°, 求∠BAC。

isee

由于 $\triangle ACM \sim \triangle BAM$ , 故而可设 $BC=\sqrt 6$ .
如此一来由\[MA^2=MC\cdot MB,\] 可得到出 $AM=6$ .
再过点 $C$ 作 $CD\perp AB$ 于 $D$，过 $M$ 作 $ME\perp AC$ 于 $E$ ，这样就能求出 $$\sin BAC=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}4.$$

hejoseph

过点 $M$ 作 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$，设 $BC=1$，上一楼已经求得 $AM=\sqrt{6}$，所以 $AD=MD=\sqrt{3}$，所以 $\sin\angle ADM=\dfrac{MD}{CM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\angle ADM=60^\circ$，接着得 $CD=1$，因此 $\angle CBD=\angle BDC$，可求得 $\angle CBD=\angle BDC=30^\circ$，所以 $BD=MD$，即 $BD=AD$，所以 $\angle BAC=\angle ABD$，求得 $\angle BAC=15^\circ$。
如上图，应该还有一个解，即点 $A'$ 处，此时 $\angle BAC=75^\circ$。

isee

hejoseph 发表于 2024-3-22 16:21
过点 $M$ 作 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$，设 $BC=1$，上一楼已经求得 $AM=\sqrt{6}$，所以 $AD=MD=\sqrt{3}$ ...

点 $M$ 在 $ AC$ 上的投影是 $\triangle ABM$ 的外心.