圆锥曲线上距离给定点 $P$ 最近的点 $M$ 尺规作图

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设点 $P(r, s)$ 在第一象限。
对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，为了找到椭圆上离 $P$ 最近的点 $M(x, y)$，最小化距离的平方：
$$f(x)=(x-r)^2+(y-s)^2=(x-r)^2+\left(\frac{b \sqrt{a^2-x^2}}{a}-s\right)^2$$
令导数等于零，得到关于 $x$ 的方程：
$$\frac{r}{x}-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)=\frac{b s}{a \sqrt{a^2-x^2}}$$
通过代入 $x=a \cos \theta, 0<\theta<\pi / 2$，上述方程可转化为关于 $\theta$ 的方程：
$$\left(a^2-b^2\right) \sin \theta \cos \theta=a r \sin \theta-b s \cos \theta$$
代入 $a=3, b=1, r=2/3, s=2\sqrt{3}$：
\[
4 \sin \theta \cos \theta = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta
\]
\[2\sin(2θ)=2\sin(θ−π/3)\]
\[
\sin(2\theta) = \sin(\theta - \pi/3)
\]
对于 $\sin(A)=\sin(B)$ 成立，必有 $A=B+2kπ$ 或 $A=π−B+2kπ$。
第一种情况：在 $0<\theta<\pi / 2$ 无解；第二种情况：
\[
2\theta = \pi - (\theta - \pi/3) + 2k\pi
\]
\[
3\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi
\]由于 $\frac{4\pi}{3}$ 角不能被三等分，$\theta$ 不可作，因此无法作出椭圆上距离点 P 最近的点，或者说，从P到椭圆的法线不可作。

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对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，为了找到双曲线上离 $P$ 最近的点 $M(x, y)$，代入 $x=a \sec \theta, y=b \tan \theta$。最小化距离的平方并令导数等于零，可以得到关于 $\theta$ 的方程：
$$(a^2+b^2) \tan \theta - ar \sin \theta - bs = 0$$
例如 $x^2-y^2=1$ 和点 $(8, 2\sqrt{3})$，得到关于 $θ$ 的方程：
\[
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = 4\sin\theta
\]
\[
\frac{\sin\theta\cos(\pi/3) - \cos\theta\sin(\pi/3)}{\cos\theta\cos(\pi/3)} = 4\sin\theta
\]
\[
\frac{\sin(\theta - \pi/3)}{\cos\theta\cos(\pi/3)} = 4\sin\theta
\]
\[
\sin(\theta - \pi/3) = \sin(2\theta)
\]
对于 $\sin(A)=\sin(B)$ 成立，必有 $A=B+2kπ$ 或 $A=π−B+2kπ$.
第一种情况：在 $0<\theta<\pi / 2$ 无解；第二种情况：
\[
\theta - \pi/3 = \pi - 2\theta + 2k\pi
\]
\[
3\theta = \frac43\pi + 2k\pi
\]由于 $\frac{4\pi}{3}$ 角不能被三等分，$θ$ 无法尺规作出，双曲线上距离 P 最近的点无法作出，或者说，从P到双曲线的法线不可作。

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对于抛物线 $4py=x^2$，最小化距离的平方\[f(x) = (x-r)^2 + (\frac{x^2}{4p}-s)^2\]令导数等于零，得到关于 $x$ 的三次方程：
$$x^3+4 p(2 p-s) x-8 p^2 r=0$$
当选择 $p=1/2, r=1, s=1$ 时，我们得到的方程是 $x^3-2=0$。无法作抛物线 $2y=x^2$ 上距离点 P 最近的点，或者说，从P到抛物线的法线无法作。

1+1=？

点P在椭圆的对称轴上或者$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$上可以算出最值