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Wikipedia中的例子域扩张 $\mathbb{F}_{2^3}$ 和 $\mathbb{F}_{2^4}$ 作为 $\mathbb{F}_2[X]$-module 时区别在于多项式 $X^n-1$ 在基域 $\mathbb{F}_2$ 上的分解形式，决定了Frobenius自同构 $\Phi$ 是否可对角化。
| $\mathbb{F}_{2^3}$ 情形 | $\mathbb{F}_{2^4}$ 情形 |
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| $n$与$p$的关系 | $p \nmid n$ ($2 \nmid 3$) | $p \mid n$ ($2 \mid 4$) | | $X^n-1$的分解 | 无重根的互质因子 | 有重根的单一因子 | | 模结构 | 可分解（直和） | 不可分解（嵌套链） | | Frobenius自同构 $\Phi$ | 可对角化 | 不可对角化 |
第一个例子：$\mathbb{F}_{2^3}$
扩张次数 $n=3$，基域特征 $p=2$。关键在于 $p$ 不整除 $n$。
- 多项式分解：多项式 $X^3-1$ 在 $\mathbb{F}_2[X]$ 中分解为互不相同的互质因子：
$$X^3 - 1 = (X-1)(X^2+X+1)$$ - 模结构：由于因子是互质的，根据中国剩余定理，域 $K=\mathbb{F}_{2^3}$ 作为 $\mathbb{F}_2[X]$-模可以分解为子模的直和：
$$K \cong \frac{\mathbb{F}_2[X]}{(X-1)} \oplus \frac{\mathbb{F}_2[X]}{(X^2+X+1)}$$
这种semisimple结构，对应于 $\Phi$ 可对角化。
第二个例子：$\mathbb{F}_{2^4}$
扩张次数 $n=4$，基域特征 $p=2$。关键在于 $p$ 整除 $n$。
- 多项式分解：多项式 $X^4-1$ 在 $\mathbb{F}_2[X]$ 中分解含有重因子：
$$X^4 - 1 = (X+1)^4$$ - 模结构：由于存在重因子，中国剩余定理不再适用，该模是不可分为独立的子模之和，而是形成一个嵌套的子模链，$\Phi$ 不可对角化。
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