$\phi$函数的不等式

hbghlyj

根据此帖子 $\frac{\phi(p^n - 1)}{n}$ 是本原多项式的个数，而 $\frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) p^d$ 是不可约多项式的个数，本原多项式包含于不可约多项式，因此 $\frac{\phi(p^n - 1)}{n}\leqslant\frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) p^d$. 请问：有没有直接证明这个不等式的办法？即：

$p$为素数，$n$为正整数，求证$$\phi(p^n - 1)\leqslant\sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) p^d$$

hbghlyj

使用$\varphi\left(n\right)=\sum_{d|n}d\cdot\mu\left(\frac{n}{d}\right)$, 将不等式写为：
\[\sum_{d|p^n-1}d\cdot\mu\left(\frac{p^n-1}{d}\right)\leqslant\sum_{d \mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) p^d\]
怎么证明？