圆上三点尺规作图

教学乡长

hejoseph

第一题：若按上图顺时针顺序分别为点 $A$、$B$、$C$、$P$，设 $AB=c$，$BC=a$，$AC=b$，$AP=x$，$CP=y$，则 $BP=y-x$，由托勒密定理得
\[
cy+ax=b(y-x)，
\]
由此得
\[
\frac{x}{y}=\frac{b-c}{a+c}，
\]
然后用阿波罗尼斯圆或中垂线作图即可找出点 $P$。
点$P$在其他位置类似。
特别地，若 $\triangle ABC$ 为正三角形，则点 $P$ 不唯一，且有无限多个点满足条件。

hejoseph

游客

1、可以用正弦定理（不用托勒密），但作图时要辅助3个直角三角形。
tan∠DCA=(sin∠ABC-sin∠ACB)/(1+cos∠ABC-cos∠ACB).