柯西方程的条件

APPSYZY

• 设函数 $f(x)$ 满足：$\forall x, y \in \mathbf{R}, f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．若 $f(x)$ 有唯一解 $f(x)=f(1) \cdot x$ ，则 $f(x)$ 需要满足什么条件？（换言之，加什么样的条件才能保证没有另外的解，比如不连续函数，病态函数？）
• 设函数 $f(x)$ 满足：$\forall x, y \in \mathbf{R}, f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ．若 $f(x)$ 有唯一解 $f(x)=a^x(a$ 为常数且 $a>0, a \neq 0)$ ，则 $f(x)$ 需要满足什么条件？

走走看看

回复 1# APPSYZY

$题目中的条件a≠0似应为a≠1。$
$第一个要满足的条件是f(0)=1，第二个要满足的条件是f(1)=a。$
$柯西方程的解还可能是f(x)=cx，但在以上限定条件下，就是f(x)=a^x。$

参看：mofangge.com/html/qDetail/02/g0/201401/4t85g002553925.html

走走看看

回复 1# APPSYZY


    这道题不是很好吗？我是第一次听讲柯西方程。还有第三个条件是f(x)必须是连续函数。
    $成立的条件f（0）=1，不是根据f(x)=a^x得来的，是从题设条件得到的。$
    $令x=y=0，则有f(0)=f(0)^2，解得f(0)=0或f(0)=1$
    $显然，若f(0)=0则与f(x)=a^x相矛盾。$

     还是不用删了。

APPSYZY

回复 3# 走走看看
感谢！

色k

两个问题是等价的：对于 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的来说，首先它不应该有零点，否则易证其恒为零，此时 $f(2x)=f(x)^2>0$，所以 $f(x)$ 恒正，那么存在 $g(x)$ 使得 $f(x)=a^{g(x)}$（$a$ 为常数且 $a>0$, $a\ne1$），于是 $f(x+y)=f(x)f(y) \iff a^{g(x+y)}=a^{g(x)}a^{g(y)} \iff g(x+y)=g(x)+g(y)$，所以两个问题等价。

色k

至于 $f(x+y)=f(x)+f(y)$，即柯西方程，要使它的解只有 $f(x)=f(1)x$，可添加以下任意一个的条件：
（1）在任意一点处连续；
（2）有单调性；
（3）当 $x>0$ 时 $f(x)>0$；
（4）存在使 $f(x)$ 有界的区间；
（5）……有空再翻查记录…………

APPSYZY

回复 6# 色k
坐等色k填坑，哈哈

走走看看

回复 6# 色k

请看看二楼链接中的第三个小问题的证明是否严密。
求证的是x∈R的情况，但答题者却说x可以化成无数个有理数之和。
这样行吗？

色k

回复 8# 走走看看

那个显然是烂答案，扔掉

abababa

回复 9# 色k

单是无理数变成无穷个有理数之和，这个应该是对的，比如$\sqrt{2}$，可以取$q_n=\frac{\lfloor 10^n(\sqrt{2}-1)\rfloor}{10^n},n\ge1,q_0=1$，这样$\sqrt{2}=\sum_{k=0}^{\infty}q_k$，就是一直取此无理数的第$k$位小数，最后和的极限就收敛到那个无理数了。

kuing

回复 10# abababa

嗯，但是代到 f 里面情况就不同了，得去证明展开成无数个 f 是合理的才行，证明时肯定得用到极限、连续性之类的条件（否则1楼的问题就无需加条件了），那个答案直接一带而过，显然是忽悠人的。

游客

从拓扑的角度看，应该是要给定某一段的条件，不能只给某些点的条件，
因为点和段是不同维度的。
比如：“当x>0时，f(x)>0”这个条件，写成“当0<x<1时，f(x)>0”也可。