不等式$a \text{e}^{a^2-ax+1}-x+\frac 1a>0$恒成立等等 同形异构

isee

当$x\in (0,4)$时，若不等式$a \text{e}^{a^2-ax+1}-x+\frac 1a>0$恒成立，求非零实数$a$的取值范围.

结果：$(0,2-\sqrt{3}]\cup [2+\sqrt{3},+\infty )$

oreoes

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回复 2# oreoes


这个方向亦可

\begin{align*}
a\mathrm e^{a^2-ax+1}&<x-\frac 1a\\
a\mathrm e^{a^2}&<\left(x-\frac 1a\right)\mathrm e^{ax-1}\\
a\mathrm e^a&<\left(x-\frac 1a\right)\mathrm e^{a(x-1/a)}&\text{构造}f(x)=a\mathrm e^{ax}
\end{align*}   

这种同形异构前阵子特别多

oreoes

回复 3# isee

\begin{align*}

a>\frac 14,a^2\mathrm e^{a^2-4a+1}&\ge 4a-1\\

a^2-4a+1&\ge\ln\left(\frac {4a-1}{a^2}\right)\\\
a^2-4a+1&\ge0 \Leftrightarrow 1\ge\frac {4a-1}{a^2}\Leftrightarrow0\ge\ln\left(\frac {4a-1}{a^2}\right)
\mbox{符合题意}\\
a^2-4a+1&<0 \Leftrightarrow 1<\frac {4a-1}{a^2}\Leftrightarrow0<\ln\left(\frac {4a-1}{a^2}\right)\mbox{与题矛盾}\\

\end{align*}

isee

回复 4# oreoes

说两个题外话
1） “\begin{align*...\end...”  这一类“环境”内，尽量不要空行(论坛里能正确处理，是 MathJax 兼容性强（或者说是优化），且最后一行\\不需要

（这个细节在 TeX Live 这样的软件内才会体现，当然如果压根不用 TeX Live之类的 LaTeX 排版软件，可以不理）

2） 公式中的文本，用\text{}更规范（其次论坛里 MathJax 直接支持公式中使用汉字，无需任何处理）

（ LaTeX 代码与汉字混排的确比较麻烦，当然压根不用 TeX Live之类的软件，可以不理，其中最明显的特征就是放弃MS office 习惯）

isee

话说，很久没有新人学 LaTeX 代码了，哈哈哈，像坛主已经放弃了（别人用代码了）~~

oreoes

回复 3# isee


    \begin{align*}

a\mathrm e^{a^2-ax+1}&>x-\frac 1a\\

a\mathrm e^{a^2}&>\left(x-\frac 1a\right)\mathrm e^{ax-1}\\

a^2\mathrm e^{a^2}&>\left(ax-1\right)\mathrm e^{ax-1}

\end{align*}
应该这样变形吧

isee

回复 7# oreoes


你这个亦是， 形式上更佳

3＃已经修改了

isee

此贴因 oreoes 的参与，搞大了，干脆再选一些同形异构的题来

题：正实数`x,y`满足`4\mathrm e^{4-2x}=(2x+y)\mathrm e^y`，则`x+\frac {2x^2}y+\frac yx`的最小值为_4__

\[f(x)=x\mathrm e^x,\]
\[4\mathrm e^{4-2x}=(2x+y)\mathrm e^y\iff  f(4)=4\mathrm e^4=(2x+y)\mathrm e^{2x+y}=f(2x+y)\Rightarrow 4=2x+y,\]
\[x+\frac {2x^2}y+\frac yx=x+\frac {x(4-y)}y+\frac yx=\frac {4x}y+\frac yx\geqslant 4.\]

isee

若对任意`x>0`都有`a\left(\mathrm e^{ax}+1\right)\geqslant 2\left(x+\frac 1x\right)\ln x`，则实数`a`的最小值是___`\frac 2{\mathrm e}`___

哈哈无意又解决一个：分参又失效了，，都在2019年， 含参不等式又升级了 有什么办法吗`\leftarrow` 这种标题恨啊~~~~~~~~~

哈哈哈，出现率好高~~又一道不等式含参的问题~~减号~ kuing 解了

\begin{align*}
a\left(\mathrm e^{ax}+1\right)&\geqslant 2\left(x+\frac 1x\right)\ln x\\
a\mathrm e^{ax}+a&\geqslant 2x\ln x+\frac 2x\ln x\\
ax\mathrm e^{ax}+ax&\geqslant 2x^2\ln x+2\ln x\\
ax\mathrm e^{ax}+ax&\geqslant x^2\ln x^2+\ln x^2\\
f(x)&=xe^x+x,\uparrow\\
f(ax)&\geqslant f(\ln x^2)\\
ax&\geqslant 2\ln x\\
\Rightarrow a&\geqslant \frac 2{\mathrm e}
\end{align*}

isee

2020年新高考全国卷1第21题 含参导数恒成立 7#，可能就是这题引起的风潮


`ax+\ln x+1\leqslant xe^{2x}`——也算是

isee

一道对数指数的含参不等式问题

函数导数恒成立，可能下是祖宗级别的~~~注意套娃里有原理（战巡） 2#

isee

就这样吧，不等式分类下还没有“翻”

isee

又一个同构典范(当然亦可以 $1/(x+2)$ 放缩过去）
\[x>0,\frac {\ln(x+1)}x>\frac { x}{\mathrm e^x-1},\Leftarrow f(x)=\frac{x-1}{\ln x}.\]