对于哪些多项式f(x,y)存在多项式g(x,y)使∇f·∇g=0

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例如$f(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4-2x^2+2y^2$

1. DSolve[(D[x^4-6x^2y^2+y^4-2x^2+2y^2,{{x,y}}]/.{y->y[x]}).{y'[x],-1}==0,y[x],x]

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得出$g(x,y)=xy(x^2-y^2-1)$满足$∇f·∇g=0$, 验证:

1. D[x^4-6x^2y^2+y^4-2x^2+2y^2,{{x,y}}].D[x y(x^2-y^2-1),{{x,y}}]//Simplify

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输出0

Czhang271828

这类正交多项式基本上是 comformal map 的实部和虚部; 但这里不是, 主要是因为相差了一个积分因子.

此处的积分因子即常微分方程中的积分因子. 类似 $f\mathrm dx+g\mathrm dy$ 不是全微分, 但存在一个积分因子 $\mu$ 使得有全微分\[\mathrm d\Phi=\mu f\mathrm dx+\mu g\mathrm dy.\]

一般来讲很难算. 若有简单且系统的理论, 常微分教材早就写了.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-1-13 07:04
这类正交多项式基本上是 comformal map 的实部和虚部; 但这里不是, 主要是因为相差了一个积分因子.

此处 ...

刚想明白了
$z=x+yi$, 则
$$f(x,y)+4g(x,y)i=z^4-z^2$$
另外2#有个笔误comformal map, 应为conformal map

hbghlyj

$ϕ$ conformal map 则$ϕ(\bar z)=\overline{ϕ(z)}$
$$ϕ(x+y\mathrm i)=f(x,y)+\mathrm i\,g(x,y)$$
因此 $f$ 为关于 $y$ 的偶函数, $g$ 为关于 $y$ 的奇函数.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-1-13 07:04
这类正交多项式基本上是 conformal map 的实部和虚部 ...

对应的两组曲线是坐标轴在 conformal map 下的像.
共焦点的圆锥曲线正交
卡西尼卵形线与共中心,经过其焦点的直角双曲线正交

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-1-13 07:04
这类正交多项式基本上是 conformal map 的实部和虚部; 但这里不是, 主要是因为相差了一个积分因子 ...

“积分因子”其实可以推广成与一元函数复合
设$f,g:\Bbb R^2\to\Bbb R$, $∇f·∇g=0$, $u,v:\Bbb R\to\Bbb R$,
根据$∇(u∘f)=(u'∘f)∇f$ 和 $∇(v∘g)=(v'∘g)∇g$有 [见Multivariable chain rule或gradient chain rule]
\[∇(u∘f)·∇(v∘g)=0\]比如以0为中心的圆和通过0的直线正交得出$$∇(x^2+y^2)·∇\left(\frac yx\right)=0$$找到的conformal map是\[\log(x+y\mathrm i)=\frac12\log(x^2+y^2)+\mathrm i\tan^{-1}\frac yx\]
这里\[u(\cdot)=\frac12\log(\cdot)\qquad v(\cdot)=\tan^{-1}(\cdot)\]

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Czhang271828 发表于 2023-1-13 07:04
这类正交多项式基本上是 conformal map 的实部和虚部; 但这里不是, 主要是因为相差了一个积分因子 ...

任何harmonic function是否都能求出一个harmonic conjugate
已知$u$用$f^{\prime}(z)=u_x-\mathrm{i} u_y$积分得$f$
已知$v$用$f^{\prime}(z)=v_{y}+\mathrm{i} v_{x}$积分得$f$

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Czhang271828 发表于 2023-1-13 07:04
这类正交多项式基本上是 conformal map 的实部和虚部; 但这里不是, 主要是因为相差了一个积分因子 ...

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