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沪X教师传道<yuhua****com> 2023/12/17 0:39:08
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（原图还有个答案，我没截，因为是错的）
首先由条件易知 `a\geqslant c\geqslant b\geqslant d>0`，考查与 `a` 有关的两项
\[f\left(\frac ab\right)+f\left(\frac da\right)=\frac b{a+b}+\frac a{d+a}=1+\frac b{a+b}-\frac d{d+a}=g(a),\]
由 `b\geqslant d` 可知 `g(a)\geqslant1`，所以
\begin{align*}
&f\left(\frac ab\right)+f\left(\frac bc\right)+f\left(\frac cd\right)+f\left(\frac da\right)\\
\geqslant{}&f\left(\frac bc\right)+f\left(\frac cd\right)+1\\
>{}&f(1)+0+1\\
={}&\frac32,
\end{align*}
当 `b=c`, `d\to0`, `a\to+\infty` 时原式 `\to3/2`；
另一方面，对 `g(a)` 求导得
\[g'(a)=-\frac b{(a+b)^2}+\frac d{(d+a)^2}=\frac{(b-d)(bd-a^2)}{(a+b)^2(d+a)^2}\leqslant0,\]
因此有 `g(a)\leqslant g(c)`，注意到 `f(x)+f(1/x)=1`，所以
\begin{align*}
&f\left(\frac ab\right)+f\left(\frac bc\right)+f\left(\frac cd\right)+f\left(\frac da\right)\\
\leqslant{}& f\left(\frac cb\right)+f\left(\frac bc\right)+f\left(\frac cd\right)+f\left(\frac dc\right)\\
={}&2,
\end{align*}
当 `a=c` 或者 `b=d` 时取等；
综上，答案为 `(3/2,2]`。 |
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lihpb
Post time 2023-12-17 21:17
