长方体投影面积最大问题

Tesla35

在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,~$AB=AA_1=1,AD=2$,线段$BD$在平面$\alpha$上,若长方体绕着$BD$运动,则在运动过程中,当长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$在平面$\alpha$上的投影面积最大时,平面$ABCD$与平面$\alpha$所成角的余弦值为

Czhang271828

无论长方体如何旋转, 考虑垂直于 $\alpha$ 的且与长方体相交直线, 直线与长方体表面交点数依概率 $1$ 是 $2$ (因为长方体是凸集, 大部分直线通过长方体的方式是"外-里-外").

这表明, 只需计算 $\square ABCD$, $\square ABB^\prime A^\prime$ 与 $\square AA^\prime D^\prime D$ 在 $\alpha$ 上的面积投影之和即可. 之后建系: 记 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow {AD}$ 与 $\overrightarrow{AA^\prime}$ 的方向为 $\overrightarrow x$, $\overrightarrow y$ 与 $\overrightarrow z$. 平面 $\alpha$ 的法向 $(2t,t,s)$.

$(\star)$ $\square ABCD$ 的投影面积: $2 \cdot\cos\theta_1=\frac{2|s|}{\sqrt{5t^2+s^2}}$;

$(\star)$ $\square ABB^\prime A$ 的投影面积: $1\cdot \cos\theta_2=\frac{|t|}{\sqrt{5t^2+s^2}}$;

$(\star)$ $\square ADD^\prime A^\prime$ 的投影面积: $2\cdot \cos \theta_3=\frac{2|2t|}{\sqrt{5t^2+s^2}}$.

对 $(\star)$ 求和, 得 $\frac{5|t|+2|s|}{\sqrt{5t^2+s^2}}\leq \frac{\sqrt{5+4}\cdot \sqrt{5t^2+s^2}}{\sqrt{5t^2+s^2}}=3$.

取等时 $|2t|=|s|$, 此时 $\cos\theta_1=\frac{2}{3}$. 对一般的 $\alpha=(a,b,c)$, 计算得 $\frac{2a+b+2c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\leq 3$, 即长方体的投影面积的最大值刚好是 $3$.

给定以 $(0,0,0)$ 与 $(x,y,z)$ 为对角线的长方体, 其平面投影面积最大值为 $\frac{axy+byz+czx}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\leq \sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}=xyz\sqrt{x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}}$.

hbghlyj

How to find average shadow of a unit cube with the formula of area of orthogonal projection of cube?
Expected value of cube projection
The Average Projected Area Theorem - arXiv
A tale of two problem solvers (Average cube shadows)
What is the average area of the shadow of a convex shape ...
reddit.com/r/math/comments/rkppju/alice_bob_and_the_average_shadow_of_a_cube/
reddit.com/r/3Blue1Brown/comments/rmsij4/my_solution_to_the_average_shadow_problem/
reddit.com/r/3Blue1Brown/comments/rv6csq/my_own_little_proof_of_the_shadow_of_a_convex/
reddit.com/r/mathematics/comments/1ghyncb/average_area_of_shadow_of_cube_whats_wrong_with/
reddit.com/r/askmath/comments/1ghyjnq/average_area_of_shadow_of_a_cube_whats_wrong_with/
mean-shadow-of-rotating-objects.pdf
Average shadow area of a cube - (hopefully) solving 3b1b's

1. 因为形状是凸的，你可以通过将其表面部分的阴影相加来计算沿特定方向 $\vec{u}$ 投射的阴影大小：

  - 将形状的表面划分为小的面积块。
  - 通过测量与 $\vec{u}$ 的点积来计算每个面积块的阴影大小。
  - 将每个阴影块的大小相加。
  - 注意，这实际上是形状阴影大小的两倍，因为我们进行了双重计算：每个面积块在形状的“另一侧”都有一个对应的部分，且两个部分投射相同的重叠阴影。因此，我们必须将总和除以二。

2. 因为凸形状的阴影可以通过其各个表面部分的阴影相加来计算，所以*平均*阴影也可以用同样的方法计算：

   - 将形状的表面划分为小的面积块。
   - 计算每个面积块在所有方向上投射的平均阴影。
   - 将每个面积块的平均阴影相加。
   - 将总和除以二。

3. 存在一个比例常数 $\lambda$，将任何凸物体的表面积与其阴影的平均大小联系起来。

  - 每个面积块在所有方向上投射的阴影的平均大小应与面积块的面积成正比。（毕竟，面积块和阴影都有面积单位，放大面积块的某个量应当同样放大阴影。）

  - 因此，存在一个比例常数 $\lambda$，使得如果面积块的面积是 $A$，其阴影的平均面积是 $\lambda \cdot A$。

  - 当我们通过将每个面积块的单独贡献相加来计算形状的平均阴影时，这个常数 $\lambda$ 将从总和中提取出来。剩下的总和就是形状的表面积。

  - 因此，凸形状投射的平均阴影应为 $\lambda$ 乘以其表面积（除以二）。

4. 因为比例常数 $\lambda$ 对所有凸形状都是相同的，我们可以使用已知形状来求解其值。半径为1的球体的表面积为 $4\pi$，在每个方向上投射的阴影面积为 $\pi$。因此，其在所有方向上的平均阴影面积为 $\pi$，比例常数必须是 $$\lambda \equiv \frac{\pi}{4\pi} =  \frac{1}{4}.$$

  所以，任何三维凸形状所投射的阴影的平均大小是其表面积的 $\frac{1}{4}$。

---

5. 额外：扩展到 $n$ 维，将存在一个比例常数 $\lambda_n$，将凸体的外表面与其阴影的平均大小联系起来。我们可以使用几何已知的 $n$ 维球体来计算这些常数。

  比例常数 $\lambda_n$ 是 $n-1$ 维球体的体积（在我们的例子中是一个圆盘）除以 $n-1$ 维球体的表面积（在我们的例子中是一个球体）。因此，根据标准公式，

  $$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$$
  $$A_n = \frac{2\cdot \pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}$$

  $$\lambda_{n+1} = \frac{V_{n}}{A_n} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\cdot \frac{\Gamma(\frac{n}{2}+2)}{2\cdot \pi^{\frac{n+1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}+2)}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} $$

  注意，如果我们分别考虑奇数和偶数情况，$\Gamma()$ 函数会简化。经过操作，我们发现：

$$\lambda_{n+1} = \begin{cases}\frac{1}{2^{n+1}} {n \choose n/2} & n\text{ even}\\
\frac{1}{\pi}\frac{2^n}{n+1} {n \choose {\lfloor n/2\rfloor} }^{-1} & n\text{ odd}
\end{cases}$$
因此 $$\lambda_n = \frac{1}{2},\; \frac{1}{\pi},\; \frac{1}{4},\; \frac{2}{3\pi},\; \frac{3}{16},\; \frac{8}{15\pi},\; \ldots .$$

hbghlyj

所以，立方体投影的平均面积是其表面积6的四分之一，即3/2 。

hbghlyj

我们有时需要生成一个均匀分布的随机旋转矩阵。在二维情况下，这意味着旋转角度在 $0$ 到 $2π$ 之间均匀分布，这一点直观上是正确的，但在更高维度中并不适用。

Wikipedia：如果我们将 3 × 3 旋转矩阵分解为轴–角形式，角度不应均匀分布；角度的大小至多为 $θ$ 的概率应为 $\frac{1}{\pi}(θ − \sin θ)$，其中 $0 ≤ θ ≤ π$。如何证明这个公式？