求 $x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x-y}\right)^2$ 的最小值

isee

源自知乎提问

题：已知 $x,y\in\mathbb R$ 且 $x\ne y$ ，则 $f=x^2+y^2+\left(\dfrac{1+xy}{x-y}\right)^2$ 的最小值为____.

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换元设 $x=\cot \alpha$ ， $y=-\cot\beta$ ，其中 $\alpha,\beta\in(0,\pi)$ 且 $\cot\alpha+\cot\beta\ne 0$ ，则 \begin{align*}
f&=\cot^2\alpha+\cot^2\beta+\left(\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}\right)^2\\[1ex]
&=\cot^2(\pi-\alpha)+\cot^2(\pi-\beta)+\cot^2(\alpha+\beta),
\end{align*} 又 $y=\cot^2 x$ 为下凸函数——即 $y''>0$ ——故依 Jensen 不等式 \begin{align*}
f&=\cot^2(\pi-\alpha)+\cot^2(\pi-\beta)+\cot^2(\alpha+\beta)\\[1ex]
&\geqslant3\cot^2\frac{\pi-\alpha+(\pi-\beta)+(\alpha+\beta)}3\\[1ex]
&=3\cdot \frac13\\[1ex]
&=1.
\end{align*} 当且仅当 $\alpha=\beta=\frac{\pi}3$ 时取得等号.
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注意 2# 的补充~

kuing

这写法有点小问题，因为有可能 `\alpha+\beta>\pi`，那就到下一个凸区间内了，此时得减一个 `\pi` 拉回来再琴生，补充一下问题不大。

也可以考虑这样写
\begin{align*}
f&=\cot^2A+\cot^2B+\left(\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}\right)^2\\
&=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2(A+B)\\
&=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C,
\end{align*}
其中 `A+B+C=\pi`（不一定是三角形），此时有 `\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1`，所以 `f\geqslant1`。

emmm... 不过其实这样看的话，三角也是多9余了……
直接令 `z=\dfrac{1+xy}{x-y}`，去分母即 `x(-y)+(-y)z+zx=1`，所以 `f=x^2+(-y)^2+z^2\geqslant1`，就得了😅

Aluminiumor

由结果反推：
$$x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x-y}\right)^2-1=\frac{(x^2+y^2-xy-1)^2+(x+y)^2}{(x-y)^2}\geq0$$
易知可取等.

isee

kuing 发表于 2024-11-2 00:33
这写法有点小问题，因为有可能 `\alpha+\beta>\pi`，那就到下一个凸区间内了，此时得减一个 `\pi` 拉回来再 ...

还真是呢.
知乎那边修改了下，这边就不主楼(原文)修改了.
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其实反思取等条件，就是 $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ 的"伪装"，如此一看，此小题还是有点意思的.

isee

Aluminiumor 发表于 2024-11-2 10:58
由结果反推：
$$x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x-y}\right)^2-1=\frac{(x^2+y^2-xy-1)^2+(x+y)^2}{(x-y)^2}\ge ...

这也是实力的体现~~