为什么凸函数在变量完全对称时达到最小值？

hbghlyj

假设 $f(x)$ 是一个实变量（也可以是正实变量）的凸函数。
那么 $F = \sum_{i=1}^n f(x_i)$ 是$n$个变量的凸函数。
如果 $u\inR^n$ 是 $F$ 的一个最小值（可以加一个对称约束，例如 $\sum x_i=1$），那么对于任何置换 $\sigma$，$\sigma u$ 也是最小值。
$F$ 是凸函数意味着 $\{\sigma u\}$ 的整个凸包都是最小值点！其中包含了所有坐标相同的向量（即“完全对称”）——这个共同值是 $u$ 坐标的平均值。例如，设 $f(x)=x^n$ 并使用 $n$ 个变量，我们很快得到算术-几何不等式：$(x_1x_2\dots x_n)^{1/n} \leq (x_1+x_2+\dots+x_n)/n$。

hbghlyj

如果没有凸性，这种推理就行不通，并且可能存在非对称最小值。（考虑函数 $f(x)=x$。）
人们所能得出的结论是，如果 $u$ 是最小值，那么 $\sigma u$ 也是最小值。如果没有凸性，就得不出“$\{\sigma u\}$ 的整个凸包都是最小值点”。
物理学家将对称定律具有非对称解的现象称为“对称破缺”。