网上的一个求半圆内弦长的题目

hejoseph

来源找不到了。半圆内有一条弦 $CD$，圆周沿 $CD$ 对折后与直径 $AB$ 相切于点 $T$，已知 $AT=a$，$BT=b$，求 $CD$ 的长度。若给定点 $A$、$B$、$T$，求作弦 $CD$。

kuing

看图就想起了这题：forum.php?mod=viewthread&tid=3447

作法很简单，取 AB 中点 O，弧 AB 中点 E，作矩形 OTFE，然后以 F 为圆心 FT 为半径作圆，两圆交点就是 C, D。

\[FT=r=\frac{a+b}2,~OT=\frac{\abs{a-b}}2\riff OF=\sqrt{FT^2+OT^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}2},\]
所以
\[CD=2\sqrt{r^2-\frac{OF^2}4}=2\sqrt{\left(\frac{a+b}2\right)^2-\frac{a^2+b^2}8}=\sqrt{\frac{a^2+4ab+b^2}2}.\]