2021年新高考全国卷1第16题 剪纸艺术 对折

isee

16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm*l2dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm*2dm . 20dm*6dm两种规格的图形，它们的面积之和240dm2,对折2次共可以得5dm*12dm ，10dm*6dm，20dm*3dm三种规格的图形,它们的面积之和180dm2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______:如果对折n次，那么（这些个图形的面积和）=______dm2


先上纯文字，以后完备化，这题，我投城~

kuing

这个其实蛮简单的啊，在考场上的话写出答案也就一两分钟的事，当然在这里得当作大题来撸，要严格论证。

首先注意题目说的是“沿对称轴对称”，而对角线也有可能成为对称轴，即正方形的情况，所以需要先证明不存在折出正方形。（考场上直接不考虑）

在不是正方形时，只能上下或左右对折，设折后矩形的边长由 `(20,12)` 变为 `(20/2^a,12/2^b)`，假设出现正方形，那就有 `20\cdot2^b=12\cdot2^a`，左边被 `5` 整除而右边不能，矛盾，所以无需考虑斜对折。

对折 `n` 次后矩形的边长由 `(20,12)` 可以变为
\[\left( \frac{20}{2^a},\frac{12}{2^{n-a}} \right),\quad a=0,1,\ldots,n,\]但“规格”的个数还需要论证一下，毕竟 `(x,y)` 和 `(y,x)` 是同一规格（考场上同样直接不考虑），那么这里就要证明不存在
\[\left( \frac{20}{2^a},\frac{12}{2^{n-a}} \right)=\left( \frac{12}{2^b},\frac{20}{2^{n-b}} \right),\]还是由 $20\cdot2^b\ne12\cdot2^a$ 知不存在。

这样，不同规格数就是 `n+1`，而每个规格的面积都是 `240/2^n`，所以 `S_n=240(n+1)/2^n`。

咦？等等，第二空是 `\sum S_k`，就是还要对 `\{240(n+1)/2^n\}` 求和？如果是这样的话，这很容易中招啊……

乌贼

回复 2# kuing

在$ 2^n $个$\left( \frac{20}{2^a},\frac{12}{2^{n-a}} \right),\quad a=0,1,\ldots,n,$中不同规格数只有 $n+1$个就不好理解了。

kuing

回复  kuing

在$ 2^n $个$\left( \frac{20}{2^a},\frac{12}{2^{n-a}} \right),\quad a=0,1,\ldots,n,$中不同规格数只有 $n+1$个就不好理解了。
乌贼 发表于 2021-6-10 13:54

`\left( \frac{20}{2^a},\frac{12}{2^{n-a}} \right),a=0,1,\ldots,n` 怎么就成 `2^n` 个了？？

乌贼

回复 4# kuing
思路不同，我把它复杂化了。
折一次得2个，折2次得4个（含相同规格的），折3次得8个，……

乌贼

用图解：
   上下对折  $  1_1，2_1， 3_1，……，n_1 $
   左右对折  $ 1，     2，3，……n $
因上述数值没有相同的
所以不同规格数  $\left( {1},{{(n-1)}_1} \right)$， $\left( {2},{(n-2)_1} \right)$， $\left( {3},{{(n-3)}_1} \right)$，……， $\left( {n},{n_0} \right)$及$\left( {0},{n} \right)$

其妙

这里有多种解答：mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 68&lang=zh_CN#rd