求椭球面平面截口曲线椭圆的相关量

青青子衿

已知椭球面\(\,\Sigma\colon\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\)，平面\(\,\Pi\colon\,\dfrac{Ax+By+Cz}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=R\,\)，求椭球面\(\,\Sigma\,\)与平面\(\,\Pi\,\)的截口曲线“直径”（主轴），即椭圆的长轴与短轴及其相关量。
若记\(\,\cos\alpha\,\)、\(\,\cos\beta\,\)、\(\,\cos\gamma\,\)，则平面\(\,\Pi\,\)可以简化为\(\,\Pi\colon\,x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=R\,\)
可以发现，有：\(\,\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\,\)
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
\cos\beta=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
\cos\gamma=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
\end{split}
\right.
\end{align*}
...

1. AA = 1;
2. BB = 1;
3. CC = 3;
4. R = 2;
5. Show[ContourPlot3D[AA*x + BB*y + CC*z == R*Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2],
6.   {x, -1/2, 3}, {y, -1/2, 3}, {z, -1/2, 3}, Mesh -> None],
7. Graphics3D[{PointSize[Large],
8.    Point[{
9.      {AA*R/Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2],
10.       BB*R/Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2],
11.       CC*R/Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2]},
12.      {0, 0, 0}}]
13.    }],
14. ParametricPlot3D[{k, k, 3 k}, {k, -5, 5},
15.   PlotStyle -> Directive[Blue, Thick]]]

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青青子衿

已知椭球面\(\,\Sigma\colon\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\)，平面\(\,\Pi\colon\,\dfrac{Ax+By+Cz}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=R\,\)，求椭球面\(\,\Sigma\,\)与平面\(\,\Pi\,\)的截口曲线“直径”（主轴），即椭圆的长轴与短轴及其相关量。 ...
青青子衿 发表于 2019-5-29 20:39

当\(\,R={\color{red}0}\,\)时，有如下命题：
平面\(\,\Pi_{\overset{\,}0}\colon\,x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma={\color{red}0}\,\)（其中\(\,\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\,\)）交椭球面\(\,\Sigma\colon\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\)的截口曲线是主轴长为\(r_{\overset{\,}1}\)和\(r_{\overset{\,}2}\)的椭圆。
证明：\(r_{\overset{\,}1}\)与\(r_{\overset{\,}2}\)满足方程
\[ \dfrac{a^2\cos^2\alpha}{a^2-r^2}+\dfrac{b^2\cos^2\beta}{b^2-r^2}+\dfrac{c^2\cos^2\gamma}{c^2-r^2}=0 \]
参见：吉米多维奇 3705 ...

realnumber

截口曲线方程（如果平面直角坐标系建在这个截面上）怎么得到啊？好象旋转就可以了，把截面转到与xoy平面平行
为什么凑巧也是椭圆？

爪机专用

回复 3# realnumber

凑巧？消元后是二次，又不会无穷远，除了椭圆和圆还能是啥？

realnumber

回复 4# 爪机专用
o,

Infinity

已知截平面的方向向量的三个方向余弦角，可以将$z$轴转到该方向，形成新的坐标系$O-xyz$，于是椭球方程变为一般椭球面方程，而截平面方程变为$z=R$.
接下来就好办的，直接将$z=R$代入，直接得到一般的椭圆方程$f(x,y)=0$，剩下就是根据二次曲线的三个不变量来求主轴长度了。

hejoseph

在下面的帖子中假设 $a$、$b$、$c$、$p$ 都是正数。有如下结论：
截面的法向量平行时，得到的截线是相似的，因此若截线非退化，离心率都相等。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$。当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2>D^2$ 时截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2+c^2\right)+B^2b^2\left(a^2+c^2\right)+C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}+a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2=D^2$ 时截线是一个点；当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2<D^2$ 时截线是虚椭圆。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$。当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 时截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\neq D^2$ 时截线是双曲线，设截线的实半轴长是 $\lambda_1$，虚半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2=D^2$ 时截线是相交直线，两直线夹角的余弦值是
\[
\frac{\left|A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right|}{\sqrt{\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)^2+4a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)}}；
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是抛物线，此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4\right)^3}}|D|；
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是平行线，两直线的距离是
\[
2\sqrt{\frac{A^2+B^2+C^2}{A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4}}abc。
\]

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭双叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$。当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2>-D^2$ 时截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2=-D^2$ 时截线是一个点；当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2<-D^2$ 时截线是一个虚椭圆；当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 时截线是双曲线，设截线的实半轴长是 $\lambda_1$，虚半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是抛物线，此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4\right)^3}}|D|；
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是平行虚直线。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截二次锥面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$。当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+D^2\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2D^4\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是原点；当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是双曲线，设截线的实半轴长是 $\lambda_1$，虚半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+D^2\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2D^4\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是相交直线，两直线夹角的余弦值是
\[
\frac{\left|A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right|}{\sqrt{\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)^2+4a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)}}；
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是抛物线，此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4\right)^3}}|D|；
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是两重合直线。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭圆抛物面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2z$。当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2>2CD$ 时截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&C^6t^2-C^2\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2\left(a^2+b^2\right)\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-2CD\right)t\\
&{}+a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-2CD\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2=2CD$ 时截线是一点；当 $C\neq 0$且$A^2a^2+B^2b^2<2CD$ 时截线是一个虚椭圆；当 $C=0$ 时截线是抛物线，此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2\left(A^2+B^2\right)}{A^2a^2+B^2b^2}。
\]

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截双曲抛物面 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2z$。当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2-B^2b^2\neq 2CD$ 时截线是双曲线，设截线的实半轴长是 $\lambda_1$，虚半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&C^6t^2-C^2\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2\left(a^2+b^2\right)\right)\left(A^2a^2-B^2b^2-2CD\right)t\\
&{}-a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2-B^2b^2-2CD\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2-B^2b^2=2CD$ 时截线是两条相交直线，两直线夹角的余弦值是
\[
\frac{\left|C\left(a^2-b^2\right)+2D\right|}{\sqrt{\left(C\left(a^2-b^2\right)+2D\right)^2+4a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}}；
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 时截线是抛物线，此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2\left(A^2+B^2\right)}{\left|A^2a^2-B^2b^2\right|}；
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2=B^2b^2$ 时截线是一条直线。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭圆柱面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$。当 $C\neq 0$ 截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\[
C^2t^2-\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2\left(a^2+b^2\right)\right)t+a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\]
的两根；当 $C=0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2>D^2$ 时截线是两平行直线，两直线的距离是
\[
\frac{2ab}{A^2a^2+B^2b^2}\sqrt{\left(A^2+B^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-D^2\right)}；
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2=D^2$ 时截线是两重合直线；当 $C=0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2<D^2$ 时截线是平行虚直线。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截双曲柱面 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。当 $C\neq 0$ 截线是双曲线，设截线的实半轴长是 $\lambda_1$，虚半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\[
C^2t^2-\left(A^2a^2-B^2b^2+C^2\left(a^2-b^2\right)\right)t-a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\]
的两根；当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 且 $A^2a^2-B^2b^2<D^2$ 时截线是两平行直线，两直线的距离是
\[
\frac{2ab}{\left|A^2a^2-B^2b^2\right|}\sqrt{-\left(A^2+B^2\right)\left(A^2a^2-B^2b^2-D^2\right)}；
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 且 $A^2a^2-B^2b^2=D^2$ 时截线是两条重合直线；当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 且 $A^2a^2-B^2b^2>D^2$ 时截线是两条平行虚直线；当 $C=0$ 且 $A^2a^2=B^2b^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是一条直线；当 $C=0$ 且 $A^2a^2=B^2b^2$ 且 $D=0$ 时截线不存在。

hejoseph

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截抛物柱面 $x^2=2py$。当 $C\neq 0$ 截线抛物线，截线焦点到准线的距离是
\[
\frac{|C|\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(B^2+C^2\right)^3}}p；
\]
的两根；当 $C=0$ 且 $B\neq 0$ 且 $A^2p>2BD$ 时截线是两平行直线，两直线的距离是
\[
\frac{2\sqrt{p\left(A^2+B^2\right)\left(A^2p-2BD\right)}}{B^2}；
\]
当 $C=0$ 且 $B\neq 0$ 且 $A^2p=2BD$ 时截线是两重合直线；当 $C=0$ 且 $B\neq 0$ 且 $A^2p<2BD$ 时截线是两平行虚直线；当 $C=0$ 且 $B=0$ 时截线是一条直线。

青青子衿

hejoseph 发表于 2019-6-8 20:21
截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$。当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2>D^2$ 时截线是椭圆或圆，设截线的长半轴长是 $\lambda_1$，短半轴长是 $\lambda_2$，则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2+c^2\right)+B^2b^2\left(a^2+c^2\right)+C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}+a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根；当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2=D^2$ 时截线是一个点；当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2<D^2$ 时截线是虚椭圆。 ...

当$D=0$时，椭球面与平面的截口曲线参数方程为
\begin{align*}
\color{black}{\left\{
\begin{split}
x&=\frac{acC\cos (t)}{\sqrt{a^2A^2+c^2 C^2}}-\frac{a^2bAB\sin (t)}{\sqrt{\left(a^2 A^2+c^2 C^2\right) \left(a^2 A^2+b^2 B^2+c^2 C^2\right)}}\\
y&=b\sqrt{\frac{a^2 A^2+c^2 C^2}{a^2 A^2+b^2 B^2+c^2 C^2}} \sin (t) \\
z&=-\frac{acA\cos (t)}{\sqrt{a^2 A^2+c^2 C^2}}-\frac{b c^2BC\sin (t)}{\sqrt{\left(a^2 A^2+c^2 C^2\right) \left(a^2 A^2+b^2 B^2+c^2 C^2\right)}}
\end{split}
\right.}
\end{align*}

青青子衿

双叶双曲面与抛物线

\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
&\frac{x^2}{\alpha ^2}-\frac{y^2}{\beta ^2}-\frac{z^2}{\gamma ^2}=1\\
&\frac{\sqrt{\left(1-u^2\right)\beta ^2 +u^2 \gamma ^2}}{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}x
+\frac{\sqrt{\left(1-u^2\right)\alpha ^2 -u^2 \gamma ^2}}{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}y+u z+v=0
\end{split}
\right.
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x\vphantom{\frac{\sqrt{1}}{1}}\\
y\vphantom{\frac{\sqrt{1}}{1}}\\
z\vphantom{\frac{\sqrt{1}}{1}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{\alpha ^2(u^2 \gamma ^2+v^2)\sqrt{(1-u^2)\beta ^2 +u^2 \gamma ^2}}{2u^2v\>\!\gamma ^2\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}\,}\\
\frac{\beta ^2 (u^2 \gamma ^2+v^2)\sqrt{(1-u^2)\alpha ^2-u^2 \gamma ^2}}{2u^2v\>\!\gamma ^2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}\,}\\
\frac{u^2 \gamma ^2-v^2}{2uv}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-\frac{\alpha  \beta \sqrt{(1-u^2)\alpha ^2-u^2 \gamma ^2}}{u^2 \gamma ^2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}\\
\frac{\alpha \beta \sqrt{(1-u^2)\beta ^2+u^2 \gamma ^2}}{u^2 \gamma ^2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}\\
0
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
-\frac{\alpha ^2 \sqrt{(1-u^2)\beta ^2+u^2 \gamma ^2}}{2 u^2v\>\!\gamma ^2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}\\
\frac{\beta ^2\sqrt{(1-u^2)\alpha^2-u^2 \gamma ^2}}{2 u^2v\>\!\gamma ^2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}\\
\frac{1}{2uv}
\end{pmatrix}t^2
\end{align*}

\begin{align*}
F=\vec{q_0} - \frac{\vec{q_1}\cdot\vec{q_2}}{2 \Vert\vec{q_2}\Vert^2}\vec{q_1} + \frac{\Vert\,\!\vec{q_1}\Vert^2}{4\Vert\vec{q_2}\Vert^2}\vec{q_2}
\end{align*}


\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x_F&=-\frac{\alpha^{2}\sqrt{(1-u^{2})\beta^{2}+u^{2}\gamma^{2}}}{2v\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}\left(1+\frac{v^{2}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})}{\alpha^{2}\beta^{2}-u^{2}(\alpha^{2}+\gamma^{2})(\beta^{2}-\gamma^{2})}\right)\\
y_F&=\frac{\beta^{2}\sqrt{(1-u^{2})\alpha^{2}-u^{2}\gamma^{2}}}{2v\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}\left(1-\frac{v^{2}(\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2})}{\alpha^{2}\beta^{2}-u^{2}(\alpha^{2}+\gamma^{2})(\beta^{2}-\gamma^{2})}\right)\\
z_F&=\frac{1}{2uv}\left(u^{2}\gamma^{2}-v^{2}+\frac{v^{2}(1-u^{2})\alpha^{2}\beta^{2}}{\alpha^{2}\beta^{2}-u^{2}\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}\right)\left(\beta^{2}-\gamma^{2}\right)}\right)
\end{split}\right.
\end{align*}

1. { (x^2)/α^2 - y^2/β^2 - z^2/γ^2 - 1,
2.    Sqrt[β^2 - c^2 β^2 + c^2 γ^2]/
3.      Sqrt[α^2 + β^2] x +
4.     Sqrt[α^2 - c^2 α^2 - c^2 γ^2]/
5.      Sqrt[α^2 + β^2] y + c*z + d} /. {
6.    x -> -((
7.      2 d*t*α*β Sqrt[α^2 - c^2 α^2 -
8.         c^2 γ^2] + α^2 (d^2 + t^2 +
9.          c^2 γ^2) Sqrt[β^2 - c^2 β^2 +
10.         c^2 γ^2])/(
11.      2 c^2 d Sqrt[α^2 + β^2] γ^2)),
12.    y -> (
13.     2 d*t*α*β Sqrt[β^2 - c^2 β^2 +
14.        c^2 γ^2] + β^2 (d^2 + t^2 +
15.         c^2 γ^2) Sqrt[α^2 - c^2 α^2 -
16.        c^2 γ^2])/(
17.     2 c^2 d  γ^2 Sqrt[α^2 + β^2]),
18.    z -> (t^2 + c^2 γ^2 - d^2)/(2 c d)} // FullSimplify
19. (Sqrt[β^2 - c^2 β^2 + c^2 γ^2]/
20.    Sqrt[α^2 + β^2])^2 + (Sqrt[α^2 -
21.     c^2 α^2 - c^2 γ^2]/Sqrt[α^2 + β^2])^2 +
22.    c^2 // Factor
23. α^2 (Sqrt[β^2 - c^2 β^2 + c^2 γ^2]/
24.     Sqrt[α^2 + β^2])^2 - β^2 (Sqrt[α^2 -
25.      c^2 α^2 - c^2 γ^2]/
26.     Sqrt[α^2 + β^2])^2 - γ^2 c^2 // Factor

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