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粤A教师老杨(5425*****) 2024/4/26 16:14:07
各位，如何证明这样的三角形的内心与x轴的夹角总是45°呀
首先是轨迹为什么是一条直线？其实是为什么是恒为45°
阅A爱好者🥰k(249533164) 2024/4/26 23:07:41
你先说清楚哪些量是变的哪些是定的？
粤A教师老杨(5425*****) 2024/4/27 8:05:43
C和直角是定，A动
题目：已知 `C` 为定点，且不在坐标轴上，动点 `A`, `B` 分别在 `y` 轴和 `x` 轴上满足 `AC\perp BC`，设 `U` 为 `\triangle ABC` 的内心，证明 `U` 的轨迹为直线且与坐标轴成 `45\du` 夹角。
证明：由 `\angle UCA=45\du` 且
\[\angle UAC=\frac12\angle BAC=\frac12\angle BOC
\riff\angle AUC=135\du-\frac12\angle BOC,\]
则
\[\frac{CU}{CA}=\frac{\sin\angle UAC}{\sin\angle AUC}=\frac{\sin\frac12\angle BOC}{\sin\bigl(135\du-\frac12\angle BOC\bigr)}=k\text{（常数）},\]
这说明：点 `A` 经过以 `C` 为中心、位似比为 `k`、旋转角为 `45\du` 的位似旋转变换后得到点 `U`，用符号表示为 `A\xrightarrow{S(C,k,45\du)}U`。
而 `A` 的轨迹为 `y` 轴，因此对 `y` 轴作位似旋转变换 `S(C,k,45\du)` 后即得 `U` 的轨迹，所以轨迹是直线且与坐标轴成 `45\du` 夹角。
拒绝用位似旋转变换的解释？那就这样吧：
如图，过 `C` 作 `OC` 的垂线交 `y` 轴于 `D`，设 `\triangle OCD` 的内心为 `F`，则
\begin{align*}
\angle UAC&=\frac12\angle BAC=\frac12\angle BOC=\frac12\angle ODC=\angle FDC,\\
\angle UCA&=45\du=\angle FCD,
\end{align*}
由此得到
\begin{align*}
\triangle UCA\sim\triangle FCD&\riff\frac{UC}{FC}=\frac{AC}{DC},~\angle UCF=\angle ACD\\
&\riff\triangle CUF\sim\triangle CAD\\
&\riff\angle CUF=\angle CAD,
\end{align*}
所以 `UF` 与 `AD` 的夹角 `= UC` 与 `AC` 的夹角 `= 45\du`，而 `F` 是定点，所以 `U` 的轨迹就是与坐标轴成 `45\du` 夹角的直线。 |
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