$AD=AE,\angle B I D=\angle B C I$. 求证: 点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心.

力工

逆问题上来一个，顺便求，有漂亮的证明吗？
在 $\triangle A B C$ 中, $A B \neq A C$, 点 $D, E$ 分别在 $A B, A C$ 上, $A D=A E$, 点 $I$ 是 $D E$ 的中点, 满足 $\angle B I D=\angle B C I$. 求证: 点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心.

乌贼

力工 发表于 2023-8-19 22:54
逆问题上来一个，顺便求，有漂亮的证明吗？

如图：
      $ AI $分别交$ \odot ABC $及$ \odot IBC $于$ M，N $两点，有\[ \angle BNI+\angle BIN=\angle BCI+\angle BIN=\angle BID+\angle BIN=90\du \riff\angle IBN=90\du  \]即$ IN $为$ \odot \triangle IBC $直径，点$ B $，$ F $关于$ AN $对称，那么一方面有$ ACF $三点共线；另一方面$ F $在$ \odot \triangle IBC $上，所以\[ \angle ABI=\angle AFI=\angle IBC \]即$ I $是$ \triangle ABC $的内心