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三面角余弦定理（en）
球面余弦定理（en | ru）
Let $\mathbf u,\mathbf v$, and $\mathbf w$ denote the unit vectors from the center of the sphere to those corners of the triangle. The angles and distances do not change if the coordinate system is rotated, so we can rotate the coordinate system so that $\mathbf{u}$ is at the north pole and $\mathbf{v}$ is somewhere on the prime meridian (longitude of 0). With this rotation, the spherical coordinates for $\mathbf{v}$ are $(r, \theta, \phi) = (1, a, 0)$, where $θ$ is the angle measured from the north pole not from the equator, and the spherical coordinates for $\mathbf{w}$ are $(r, \theta, \phi) = (1, b, C)$. The Cartesian coordinates for $\mathbf{v}$ are $(x, y, z) = (\sin a, 0, \cos a)$ and the Cartesian coordinates for $\mathbf{w}$ are $(x, y, z) = (\sin b \cos C, \sin b \sin C, \cos b)$. The value of $\cos c$ is the dot product of the two Cartesian vectors, which is $\sin a \sin b \cos C + \cos a \cos b$.
五元公式（ru）
由莱昂哈德·欧拉在18世纪推导出来。三角形的不同角度和边的五个元素的基本公式可以分为两组：
- 有关三边和两个角的公式，也称为边的正弦和角的余弦的公式。\[\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A,\]
- 与三个角和两个边相关的公式，也称为角的正弦与边的余弦的公式。其中一个是：\[\sin A\cos b=\sin C\cos B+\cos C\sin B\cos a,\]
| | 使用投影的证明 |
在边的正弦乘角的余弦公式中，边和与它相邻的角用另外两条边和它们之间的夹角来表示。对于每条边，可以取相邻的两个角中的一个，所以这样的公式总共有六个。
证明
图中以$O$为圆心，半径为$R$的球体上有一个球面三角形$ABC$。$BP$垂直于通过边$b$的大圆平面，$BM$垂直于$OC$，$BN$垂直于OA。由三垂线逆定理，$PM$与$OC$垂直，$PN$与$OA$垂直。请注意，角度$MPN$等于 $b$，此外，$BM= R\sin a, BN = R\sin c$ 和 $OM = R\cos a$。接下来，我们将折线$NOMP$投影到包含$NP$的线上。
\[{\mbox{pr }}NP={\mbox{pr }}NO+{\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP\]
\[{\mbox{pr }}NP=NP=BN\cos A=R\sin c\cos A\]
\[NO\perp NP\Rightarrow {\mbox{pr }}NO=0\]
\[{\mbox{pr }}OM=OM\cos({\frac {\pi }{2}}-\angle MON)=R\cos a\sin b\]
\[{\mbox{pr }}MP=MP\cos \angle MPN=MP\cos b=BM\cos(\pi -C)\cos b=-R\sin a\cos b\cos C\]
我们将最后四个表达式代入第一个得到：
\[\sin c\cos A=\cos a\sin b-\sin a\cos b\cos C\] |
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