球面上4点距离问题

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单位球面上任意四点 $A_1, ~ A_2, ~ A_3, ~ A_4$ ．
$A_i$ 与 $A_j$ 的球面距离（大圆劣弧）为 $\varphi_{i j}, \varphi_{i j}=\varphi_{j i}$，
\[
B=\left|\begin{array}{cccc}
1 & \cos \varphi_{12} & \cos \varphi_{13} & \cos \varphi_{14} \\
\cos \varphi_{21} & 1 & \cos \varphi_{23} & \cos \varphi_{24} \\
\cos \varphi_{31} & \cos \varphi_{32} & 1 & \cos \varphi_{34} \\
\cos \varphi_{41} & \cos \varphi_{42} & \cos \varphi_{43} & 1
\end{array}\right|
\]
$B_{i j}$ 为矩阵 $B$ 的代数余子式，当且仅当 $B_{12}=B_{21}>0$ 时，$A_1, ~ A_2$ 被 $A_3, ~ A_4$ 所在大圆分隔。

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首先，考虑单位球面上的四个点 \( A_1, A_2, A_3, A_4 \)，它们之间的球面距离 \(\varphi_{ij}\) 对应的余弦值为 \(\cos \varphi_{ij}\)，即这些点在三维空间中的内积。矩阵 \( B \) 是由这些内积构成的 Gram 矩阵。

矩阵 \( B \) 的行列式 \( B \) 的代数余子式 \( B_{12} \) 和 \( B_{21} \) 需要被计算和分析。由于矩阵 \( B \) 是对称的，因此 \( B_{12} \) 和 \( B_{21} \) 始终相等。我们需要证明当且仅当 \( B_{12} = B_{21} > 0 \) 时，点 \( A_1 \) 和 \( A_2 \) 被 \( A_3 \) 和 \( A_4 \) 所在的大圆分隔。

考虑几何条件。点 \( A_1 \) 和 \( A_2 \) 被 \( A_3 \) 和 \( A_4 \) 所在的大圆分隔，当且仅当它们位于该大圆平面的两侧。该平面的法向量为 \( A_3 \times A_4 \)，点 \( A_1 \) 和 \( A_2 \) 到该平面的有符号距离可以通过它们与法向量的点积来判断。当 \( (A_1 \cdot (A_3 \times A_4))(A_2 \cdot (A_3 \times A_4)) < 0 \) 时，说明它们位于两侧。

通过分析矩阵 \( B \) 的代数余子式 \( B_{12} \) 的结构，我们发现其对应的行列式 \( \det(M_{12}) \) 可以表示为 \( (A_1 \cdot (A_3 \times A_4))(A_2 \cdot (A_3 \times A_4)) \)。当该行列式为负时，代数余子式 \( B_{12} = -\det(M_{12}) \) 为正，即 \( B_{12} > 0 \)，此时点 \( A_1 \) 和 \( A_2 \) 被分隔。

因此，当且仅当 \( B_{12} = B_{21} > 0 \) 时，点 \( A_1 \) 和 \( A_2 \) 被 \( A_3 \) 和 \( A_4 \) 所在的大圆分隔。