三角形内切圆的半径

hbghlyj

球面三角学 §89.

设 $ABC$ 为三角形；通过弧线将角 $A$ 和 $B$ 平分，交于 $P$ 点；从 $P$ 点分别垂直于边绘制 $PD$、$PE$、$PF$。然后可以证明 $PD$、$PE$、$PF$ 都相等；同样 $AE = AF$，$BF = BD$，$CD = CE$。因此 $BC + AF =$ 边长之和的一半 $= s$；因此 $AF = s - a$。设 $PF = r$。
\begin{align*}
&\text{Now }&
  \tan PF &= \tan PAF \sin AF \text{ (Art.~62);} &&\\
&\text{thus }&
  \tan r  &= \tan\dfrac{A}{2} \sin (s-a). \tag{1}
\end{align*}
$\tan r$ 的值可以用各种形式表示；因此从第45条，我们得到
\[
\tan \dfrac{A}{2} = \sqrt {\frac{\sin (s - b) \sin (s - c)}{\sin s\, \sin (s - a)} } ;
\]
将此值代入(1)，因此
\[
\tan r = \sqrt{
  \dfrac{\sin (s - a) \sin (s - b) \sin (s - c)}{\sin s} }
  = \dfrac{n}{\sin s} \text{ (第46条)}. \tag{2}
\]
再一次
\begin{align*}
  \sin (s - a) &= \sin \{\tfrac{1}{2}(b + c) - \tfrac{1}{2}a\} \\[1ex]
    &= \sin \tfrac{1}{2}(b + c) \cos \tfrac{1}{2}a - \cos \tfrac{1}{2}(b + c) \sin \tfrac{1}{2}a \\[1ex]
    &= \dfrac{\sin \tfrac{1}{2}a \cos \tfrac{1}{2}a}{\sin \tfrac{1}{2}A}
        \{\cos \tfrac{1}{2}(B - C) - \cos \tfrac{1}{2}(B + C)\},\text{ (第54条)} \\[1ex]
    &= \dfrac{\sin a \sin \tfrac{1}{2}B \sin \tfrac{1}{2}C}{\sin \tfrac{1}{2}A};
\end{align*}
\begin{align*}
\text{因此从(1) }&
\tan r = \dfrac{\sin\tfrac{1}{2}B \sin \tfrac{1}{2}C}{\cos \tfrac{1}{2}A} \sin a; \tag{3}&&
\end{align*}
因此，根据第51条，
\begin{multline*}
\tan r =
\dfrac{\sqrt{-\cos S \cos (S - A) \cos (S - B) \cos (S - C)}}{2 \cos \tfrac{1}{2}A \cos \tfrac{1}{2}B \cos \tfrac{1}{2}C} \\[1ex]
=\frac{N}{2 \cos \tfrac{1}{2}A \cos \tfrac{1}{2}B \cos \tfrac{1}{2}C}. \tag{4}
\end{multline*}
可以通过常见的三角公式证明
\[
4 \cos\tfrac{1}{2}A \cos\tfrac{1}{2}B \cos\tfrac{1}{2}C = \cos S + \cos (S - A) + \cos (S - B) + \cos (S - C);
\]
因此我们从(4)得到
\[
\cot r = \frac{1}{2N} \bigl\{\cos S + \cos (S - A) + \cos (S - B) + \cos (S - C)\bigr\}. \tag{5}
\]

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双曲几何中，三角形内切圆的半径是什么

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-26 20:38
双曲几何中，三角形内切圆的半径是什么

maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/incircles.html
内切圆半径定理
双曲 ΔABC 的内切圆半径 R 满足
(1) tanh(R) = sinh(s-a)tan(½α) = sinh(s-b)tan(½β) = sinh(s-c)tan(½γ), and
(2) tanh(R) = Δ/2sinh(s),
(3) tanh(R) = Φ/4cos(½α)cos(½β)cos(½γ).

hbghlyj

证明
我们使用右边的图，
ΔA'BX 在 A' 处有一个直角，<A'BX = ½β，d(X,A') = R，d(B,A') = s-b，
最后由引理可知。应用正切公式，
tan(½β) = tanh(R)/sinh(s-b)。这给出了 (1) 的一部分。
其他类似。

如果我们应用 (1) 的每个部分并乘以 sinh^3(s)，我们得到
sinh^3(s)tanh^3(R) = sinh(s-a)tan(½α)sinh(s-b)tan(½β)sinh(s-c)tan(½γ)sinh3(s).
如果我们应用 (Δ1),(R1)、s 定理，我们得到
sinh^3(s)tanh^3(R) = Δ^3/8。(2) 立刻成立。

(3) 由 (2)、s 定理和 (R1) 得出。