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Non-Lipschitz continuous stabilizers for nonlinear systems with uncontrollable unstable linearization
(2.3)是 $\Bbb R^2$ 中范数等价的常见结论：对于所有实数 $x,y$ 和整数 $p\ge1$$$(|x| + |y|)^{1/p} \le |x|^{1/p} + |y|^{1/p} \le 2^{(p-1)/p} (|x| + |y|)^{1/p}$$设 $a=|x|>0$，$b=|y|>0$。当 $ab=0$ 时显然成立。
- 右部分$a^{1/p} + b^{1/p} \le 2^{(p-1)/p}(a + b)^{1/p}$：
对 $\mathbf{u}=(a^{1/p},b^{1/p})$ 与 $\mathbf{v}=(1,1)$ 运用 Hölder 不等式 $\|\mathbf{uv}\|_1\le\|\mathbf{u}\|_p\|\mathbf{v}\|_q$，$q=p/(p-1)$\[
a^{1/p}+b^{1/p}
\le\bigl((a^{1/p})^p+(b^{1/p})^p\bigr)^{1/p}\bigl(1^{p/(p-1)}+1^{p/(p-1)}\bigr)^{(p-1)/p}
=(a+b)^{1/p}\,2^{(p-1)/p}.
\]
当且仅当 $a=b$ 时取等号。 - 左部分$(a+b)^{1/p}\le a^{1/p}+b^{1/p}$：
设 $w_1=\frac{a}{a+b},w_2=\frac{b}{a+b}$，则 $\sum w_i=1,\;w_i\ge0$，欲证
\[
\Bigl(\sum w_i^p\Bigr)^{1/p}\le1.
\]
由于对 $t\in[0,1]$ 且 $p\ge1$ 有 $t^p\le t$，故
\[
\sum w_i^p\le\sum w_i=1,
\]
从而 $\bigl(\sum w_i^p\bigr)^{1/p}\le1^{1/p}=1$。当且仅当一项为 1、另一项为 0 时取等号。
(2.2)对所有实数 $x,y$ 与整数 $p\ge1$\[
|x+y|^p\le2^{p-1}|x^p+y^p|\]- 情况 1：$x,y$ 同号（或一者为 0），或 $p$ 为偶数。
此时 $|x+y|=|x|+|y|$ 且 $|x^p+y^p|=|x|^p+|y|^p$。令 $\alpha=|x|^p\ge0,\;\beta=|y|^p\ge0$。对 $\alpha,\beta$ 施用(2.3)的右部分：
\[
\alpha^{1/p}+\beta^{1/p}\le2^{(p-1)/p}(\alpha+\beta)^{1/p},
\]
即 $|x|+|y|\le2^{(p-1)/p}\bigl(|x|^p+|y|^p\bigr)^{1/p}$。两边同取 $p$ 次方得
\[
(|x|+|y|)^p\le2^{p-1}\bigl(|x|^p+|y|^p\bigr).
\]
当且仅当 $|x|=|y|$ 时等号成立。 - 情况 2：$x,y$ 异号且 $p$ 为奇数。
不妨设 $x\ge|y|\ge0,\;y=-|y|$，则 $|x+y|=x-|y|$，$|x^p+y^p|=x^p-|y|^p$，不等式化为
\[
(x-|y|)^p\le2^{p-1}(x^p-|y|^p).
\]
设 $t=|y|/x\in[0,1]$ 得
\[
(1-t)^p\le2^{p-1}(1-t^p).
\]
因 $1-t^p=(1-t)\sum_{k=0}^{p-1}t^k$，可改写为
\[
(1-t)^{p-1}\le2^{p-1}\sum_{k=0}^{p-1}t^k.
\]
由于 $\sum_{k=0}^{p-1}t^k\ge1$ 且 $(1-t)^{p-1}\le1$，当 $t=0$ 时等号成立。
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