这两天人教群里一直扯三视图

kuing

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问题是关于给出三视图是否唯一确定几何体，哎，其实扯过N次了，口都臭了，不过还想在这里再臭一回。

昨天先是有人问：如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体。（  ）判断正误

然后我说：将角稍磨圆一些，不影响视图。后来就扯起来了，各种……懒得说了，也不想贴聊天记录了。

其实想象一下并不难，这里的“角”指的是长方体顶点附近位置，只要磨其中一角就可以了，而且不能将整条棱都磨掉，要保证另一端有角。
磨的时候需注意的是要保证曲面光滑（这就是为什么不用“砍”，因为一砍便起角，只能“磨”），而且还要与原长方体的面相切，这样才不会起角（因为起角就要画线），还有一点，就是曲面上任何切面不能与视图方向垂直（这是容易做到的），从而在视图中不会画出任何弧线，所以与原长方体的三视图相同。

不过，算了，靠这样的描述和想象，容易造成歧义，结果还是各种扯啊扯。

何版主也给了一个例，但那个稍显特殊，不够有普适性，也不容易让人信服。而我觉得，曲面才是构造反例的王道，理解了曲面的情况，你甚至可能觉得没有不能这样构造的例子。

于是我想来想去，把图画出来？曲面的东西就算画出来，也不容易将细节描绘出来；做实际模型？太麻烦了。哎，还是靠数学吧，用方程，构造一个实例。

不讲上面那个长方体了，也不讲“磨”了，上面的都忘掉它吧，下面重新开始讲，这里我给出的是更简单的四面体的例子。

★我们以空间直角坐标系的三条坐标轴为视图方向。

原型：最简单的直四面体，由三个坐标平面以及平面 $x+y+z=1$ 这四个面围成。
用不等式把区域表示就是 $\Omega_1: x\geqslant0\wedge y\geqslant0\wedge z\geqslant0\wedge x+y+z\leqslant1$

（外面的正方体边框只是用来表示坐标系和刻度，不知怎么隐藏，不用管它）

变形：将平面 $x+y+z=1$ 改成曲面 $x+y+z+xyz=1$。
用不等式把区域表示就是 $\Omega_2: x\geqslant0\wedge y\geqslant0\wedge z\geqslant0\wedge x+y+z+xyz\leqslant1$


根据公式，可以知道 $\Omega_2$ 的上表面比 $\Omega_1$ 稍微向下凹（看图是看不出来的，所以我前面说画出来也不易描绘细节，得通过数学方程来得出），但是棱没变。
可以证明，这两者的三视图将是完全一样的。

改成 $x+y+z+10xyz=1$、$x+y+z+100xyz=1$ 等等都可以，凹的程度会不同，但是在三视图中匀不会被显示出来。
用软件画出来，也全靠软件自动添加了颜色才显示出凹凸，否则也看不出区别。
下面两个图分别是 $x+y+z+10xyz=1$ 和 $x+y+z+100xyz=1$ 的：


100的凹得比较明显了，转个角度看看更清楚：


然而三视图本身并不会上颜色，三个视图都是直角三角形，没分别。

isee

一句就是：三视图所对应的立体几何图不一定是唯一的（三视图所对应的几何体可能是多个）。

kuing

一句就是：三视图所对应的立体几何图不一定是唯一的（三视图所对应的几何体可能是多个）。
isee 发表于 2013-10-11 14:56

这句话说N次了，但是总有争论，你在群里看的话就知道……

kuing

能传附件了，图片不大，还是传到本站好些。

这回有图还有具体公式来描述，如果这也不能理解的话，那我就没办法了。

kuing

OK，长方体那个实例也有了，不过这个实例跟我开头说的“磨”不同，而是用了类似于上面那种曲面的构造法。

为方便起见，先搞正方的，还是在空间直角坐标系中，以三条坐标轴为视图方向。

区域 $\Omega_3: 0\leqslant x\leqslant1\wedge0\leqslant y\leqslant1\wedge0\leqslant z\leqslant1\wedge(1-x)(1-y)(1-z)\geqslant xyz$。
图形：

换个角度，正面看：


简要证明：
对于 $\Omega_3$，显然，当 $x=0$ 时，不等式组为 $0\leqslant y\leqslant1\wedge0\leqslant z\leqslant1\wedge(1-y)(1-z)\geqslant0$，是个正方形，对 $y$, $z$ 同理，所以边上的三个面都是正方形。
曲面方程为 $(1-x)(1-y)(1-z)=xyz$，易知它是光滑曲面，考虑其内部时，将方程变为显函数
\[z=\frac{(1-x)(1-y)}{(1-x)(1-y)+xy},\]
则
\[\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y(y-1)}{(2xy-x-y+1)^2}<0,\]
对 $y$ 同理，因此曲面内部任意一点处的切面均不会与 $z$ 轴垂直，由对称性，切面也不会与 $x$, $y$ 轴垂直。
综上，$\Omega_3$ 的三视图为三个正方形。

将上述几何体作伸缩变换，即得三个三视图都是长方形的非长方体几何体之例。

kuing

哎，干脆来个动图：

这样也理解不了的话我就真真的没办法了啊啊啊

PS、录成 gif 后色泽变差了啊
有 mathematica 的可以自己试一下画，命令是
RegionPlot3D[ x >= 0 && y >= 0 && z >= 0 && (1 - x) (1 - y) (1 - z) >= x*y*z, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, Mesh -> None, PlotPoints -> 50]

Tesla35

kk辛苦了

其妙

kk辛苦了
Tesla35 发表于 2013-10-12 12:34

辛苦了！

青青子衿

望高手不吝赐教！~！
问题如下：
对于所有给出的三视图都不能唯一确定几何体是吗？
还是，存在部分给出三视图就能唯一确定的几何体吗？
比如：三视图为三个半径相等的圆(不带虚线)的几何体为球吗？
(如果球存在空心部分，那么必须用虚线标出。)

kuing

望高手不吝赐教！~！
问题如下：
对于所有给出的三视图都不能唯一确定几何体是吗？
还是，存在部分给出三视图就能唯一确定的几何体吗？
比如：三视图为三个半径相等的圆(不带虚线)的几何体为球吗？
(如果球存在空心部分，那么必须用虚线标出。)
青青子衿 发表于 2013-12-31 20:50

“所有都不能唯一确定”这我倒不敢说。
不过你给的例子的确也不一定为球。

青青子衿

此题可用于考考低年级小学生！

青青子衿

回复 6# kuing
kuing：

请问这是不是那个图中的曲面？
谢谢！

Tesla35

回复 12# 青青子衿

你终于发点有意义的东西了

青青子衿

你终于发点有意义的东西了
Tesla35 发表于 2014-2-4 21:01

喂喂喂，什么叫“有意义”，真不知道你这么想的。
我不禁要问了。难道繁杂的东西就不是知识了吗？
1832年，Richelot与Schwendewein给出正257边形的尺规作法
对于问题来说，现在解决不了，但以后有可能只是一道小菜。
谢谢！

乌贼

其妙

回复 15# 乌贼
乌贼干嘛？

kuing

比如：三视图为三个半径相等的圆(不带虚线)的几何体为球吗？
(如果球存在空心部分，那么必须用虚线标出。)
青青子衿 发表于 2013-12-31 20:50

三视图为三个半径为相等的圆，几何体未必为球。

区域：$x^2+y^2+z^2+2x^2y^2z^2\leqslant 1$，可以证明，以三条坐标轴的方向为的视图方向，其三视图均为半径为 $1$ 的圆。

先画个图，与球对比一下：


前者是球 $x^2+y^2+z^2\leqslant 1$，后者是 $x^2+y^2+z^2+2x^2y^2z^2\leqslant 1$，可以看到它像是一个略瘪的球。

下面简略证明一下。

考查区域 $x^2+y^2+z^2+2x^2y^2z^2\leqslant 1$ 在 $xOy$ 上的投影，由于 $x^2+y^2\leqslant x^2+y^2+z^2+2x^2y^2z^2\leqslant 1$，当且仅当 $z=0$ 时能使 $x^2+y^2=1$，故此在 $xOy$ 上的投影为半径为 $1$ 的圆，在 $yOz$, $zOx$ 上的投影也是。

再考查曲面 $x^2+y^2+z^2+2x^2y^2z^2=1$ 上的切平面，先考虑平面 $xOy$ 上方部分，将方程变形为
\[z=\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+2x^2y^2}},\]
对 $x$ 求偏导数得
\[\frac{\partial z}{\partial x}
=-\frac{x(1+2y^2-2y^4)}{\sqrt{(1-x^2-y^2)(1+2x^2y^2)^3}}\leqslant 0,\]
当且仅当 $x=0$ 时取等号，其余情况完全同理，故此，曲面上只有位于 $xyz=0$ 上的点处的切平面才会与坐标平面垂直，这就说明了三视图中除了三个圆之外不会有其他线。

kuing

回复 17# kuing

其实根据上述证明，那个系数 2 是可以改成任何一个正数的，即使瘪得很厉害，但仍然不会在坐标轴方向的视图上产生线。

test

刚才群里的，没有曲面的例子

冀D教师沐浴晨(5509*****) 2015-4-16 20:44:54
高中是否考凹多面体的三视图

比如第十题的直观图可不可以认为是这样的


这是给的两种画法，我看都没问题

test

回复 19# test

说到多面体的例子，印象中以前不知在什么群里还见过更简单的，而且还是凸多面体的，有空找找看。