向专家请教有点奇怪的几何体的表面积、体积计算

走走看看

以下的三视图显示的几何体，其右边的三个切面的表面积不知道怎么算。
总觉得右边的它们不在同一个平面上。


本题来自2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（理科）卷。

走走看看

请教专家，上面的图还原的对吗？
如果是对的，怎样算三个半圆截交的平面面积呢？
请赐教！

kuing

命题者的意思那里就是1/8个球而已。

你以为是这种吗：


PS、当然，严格来说这题也是错题，事关“三视图为三圆也未必一定是球”

走走看看

回复 3# kuing

是的，我认为就是您所给的这个图形。
谢谢K大师指教！

kuing

回复 4# 走走看看

那，假如要计算我画的这个图形的面积，你会算吗？（结果是：`6-3\sqrt2`）

huing

回复 3# kuing
如果是这种，会出现相贯线的投影。

当然，可以把相贯线处的棱角略微修圆。

kuing

回复 6# huing

我知道啊，我猜测楼主是想成了这个，所以画了出来，就是为了让楼主看清楚有交线，不符合原三视图。

走走看看

回复 5# kuing

这个截面的面积不知道怎么算，请教了。

走走看看

回复 6# huing

单纯从三个半圆视图来说，能猜出是球的一部分。但还是很难想象这三个面会无缝对接。

业余的业余

回复 8# 走走看看

从 $2\times 2 \times 2$ 的立方体出发，其表面积为 $6\times 2\times 2=24$.

去掉两相邻侧面的各 $1/2$, 也就是去了一面，加那个 $1/8$ 柱面，再考虑上下底面各挖掉了一个 $1/4$ 圆，于是这个改变的对表面积的影响(净增量)$=-4+\pi-\pi/2=-4+\pi/2$

在考虑挖掉一个角的相邻三面各去掉一个 $1/4$ 圆，放入那个$1/8$ 球面，这个改变对表面积的净增量为 $-3\pi/4+4\pi/8=-\pi/4$

于是零件的表面积为 $24-4+\pi/2-\pi/4=20+\pi/4$

走走看看

回复 10# 业余的业余

谢谢！
你知道那个3楼所示的图形的面积吗？特别是想知道，1楼的含8分之一球的直观图。

业余的业余

你画的那个图相当直观了，你就想复杂了。

你的想象图是三个四分之一圆柱两两轴心垂直，由对称性，每一根交线在同一平面内，由此都是椭圆弧。面积计算不难，只要想通了那是段椭圆弧。我感觉展开有可能是等腰直角三角形，不过我的感觉经常不准。如果不是，要用到入门级的微积分。面

色k

回复 12# 业余的业余

还真不准是sin

业余的业余

回复 13# 色k

其实我的主要意思是那条交线展开后是否是一条直线。感觉应该是，又觉得可能不是。不是的可能居高。你说的 $sin$ 是说那段弧赞开是正弦的一段吗？理由？

我怀疑展开线非常特殊。我记得椭圆求弧长没有 $close form$ 的，如果展开弧是已知曲线，那我们不是变相地解决了这个问题？而这是不可能的。

kuing

回复 14# 业余的业余

是的，所以正弦曲线的弧长也没有 close form，没毛病
你自己可以推导一下是不是 sin，很简单的。

业余的业余

是的。直线确实不可能。投影是直线--同样的 x 增量 对应同样的 z 增量，说明展开必定不是直线，因为同样的 z 增量，必然对应着不同的 x 增量(原来的弧长).


用类似柱面坐标, 让半径为 1。有 $\mathrm{d}z=k\mathrm{d}x=-k\sin\theta\mathrm{d}\theta, \mathrm{d}s=\mathrm{d}\theta (k$ 是截圆柱的平面的斜率$)$ , 故 $\cfrac {\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}=-k\sin\theta$, 这里的弧长 $s$ 是展开后新坐标系的横坐标，不妨改称 $t$, 于是有 $t=\theta , \cfrac {\mathrm{d}z}{{\mathrm{d}t}}=-k\sin t , z=k \cos t+C$

$t$ 是展开后的横坐标，原来的弧长。确实是正弦。. 如果有更直接简易的推理，一定要分享。

对的，正弦的弧长也没有 closed form.

PS: 圆弧长和转过的圆心角成正比，可能可以由这个直接推出，我应该走了不少弯路。

业余的业余

回复 16# 业余的业余

后来想了下，确实可以更直接。

因为弧长和圆心角成正比，而 $X$ 坐标可以表达为圆心角的正弦或余弦 (恰当地选择起始点的话), 而 $Z$ 坐标又和 $X$ 坐标成正比，也许更准确地说是线性关系。 $z=kx+z_0=k r\cos \theta+z_0=kr\cos(\cfrac {s}{r})+z_0=kr\cos (\frac {x'}r)+z_0$, 其中 $k$ 是截圆柱面的平面投影到 $XOZ$ 平面的直线的斜率， $s$ 是从最左边开始算起的圆弧长度，展开成平面图形后重新命名为 $x'$.