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定理 $F$ 为任意域, $n\geq 1$, $a\in F$, 则 $X^n-a$ 在 $F$ 上不可约若且仅若
\[
(a\notin \cup_{p\in\mathbb P,p\mid n}\{s^p\mid s\in F\})\land (a\notin \{-4s^4\mid s\in F\}\text{ if } 4\mid n).
\]
证明 一方面, $a\in \cdots $ 时 $X^n-a$ 可约 ($\Rightarrow$ 的逆否命题).
另一方面, 需证明 $\Leftarrow$. 若 $a\notin \cup_{p\in\mathbb P,p\mid n}\{s^p\mid s\in F\}$ 且 (若 $4\mid n$) $a\notin \{-4s^4\mid s\in F\}$, 记 $p^s$ 为 $n$ 中包含的 $p$ 的最大幂次. 据引理 (i), 只需证 $X^{p^s}-a$ 对一切 $p\mid n$ 不可约. 根据引理 (ii) 与引理 (iv), 显然.
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引理一览
(i) 对互质的整数对 $(m,n)$, $X^{mn}-a$ 在 $F$ 上可约若且仅若 $X^m-a$ 或 $X^n-a$ 在 $F$ 上可约.
(ii) $\forall p\in\mathbb P$, $a\in F$. $X^p-a$ 在 $F$ 上不可约若且仅若 $a\notin \{s^p\mid s\in F\}$.
(iii) $\forall p\in \mathbb P$, 任取 $a\in F$ 使得 $X^p-a$ 在 $F$ 上不可约. 记 $\lambda$ 为 $X^p-a$ 的根, 则
- 若 $(p\text{ is odd})\lor (p=2\land \mathrm{char}F=2)$, 则 $\lambda\notin \{s^p\mid s\in F(\lambda)\}$.
- 若 $p=2\land\mathrm{char}F\neq 2$, 则 $\lambda\in \{s^2\mid s\in F(\lambda)\}$ 若且仅若 $a\in\{-4s^4\mid s\in F\}$.
(iv) $\forall n\in \mathbb Z_{\geq 2}$, $p\in\mathbb P$, $a\in F$.
- 若 $(p\text{ is odd})\lor(p=2\land \mathrm{char}F=2)$, 则 $X^{p^n}-a$ 在 $F$ 上不可约若且仅若 $a\notin \{s^p\mid s\in F\}$.
- 若 $p=2\land \mathrm{char}F\neq 2$, 则 $X^{2^n}-a$ 在 $F$ 上不可约若且仅若 $a\notin \{s^2\mid s\in F\}\cup \{-4 s^4\mid s\in F\}$.
引理证明
引理 (i) 证明 $\Leftarrow$: 显然.
$\Rightarrow$ (的逆否命题): 若 $X^m-a$ 与 $X^n-a$ 在 $F$ 上不可约, 记 $E$ 为$X^{mn}-a$ 在 $F$ 上的分裂域. $\forall \lambda\in E$ 使得 $\lambda^{nm}=a$, 总有
\[
[F(\lambda^m):F]=n,\quad [F(\lambda^n):F]=m.
\]根据望远镜公式, $m\mid [F(\lambda):F]$ 且 $n\mid [F(\lambda):F]$, 故 $mn\mid [F(\lambda):F]$. 从而 $\lambda$ 在 $F$ 上的极小多项式至少为 $mn$ 次, 进而 $X^{mn}-a$ 在 $F$ 上不可约.
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引理 (ii) 证明 $\Rightarrow$ (的逆否命题): 显然.
$\Leftarrow$: 即证伪 $\exists a\notin F^p$ 使得 $X^p-a$ 可约之情形. 取 $f$ 为 $X^p-a$ 中 $k$ 次不可约因子 ($1\leq k\leq p-1$), 记 $c$ 为 $f$ 之常数项. 注意到 $X^p-a$ 的全体根具有形式 $\{\zeta^tu\mid u^p=a,t=0,\ldots,p-1\}$,其中 $\zeta$ 为 $p$ 次单位根, 从而存在 $l$ 使得 $c=u^k\zeta ^l$. 取 $(r,d)\in \mathbb Z^2$ 使得 $rk+dp=1$, 故
\[
u=u^{rk}u^{dp}=(c\zeta^{-l})^ra^d.
\]因此 $u\cdot \zeta^{lr}\in F$, 与 $a=(u\zeta ^{lr})^p\in\{s^p\mid s\in F\}$ 矛盾.
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引理 (iii) 证明 第一问: 反设 $\lambda =\omega^p$, 其中 $\omega \in F(\lambda)$. 引理 (ii) 表明 $\mathrm{char}F\neq p$. 故 $p$ 为奇数时, 取 $\zeta$ 为 $F(\lambda)$ 中单位元的 $p$ 次单位根, 从而 $X^p-a$ 在 $F$ 上的分裂域 $E$ 为 $F$ 的正规扩张域, $E$ 上 保持 $F$ 的自同构群为 $f_i:\lambda\mapsto \zeta^i\lambda $. 由于 $f_i(\omega)^p=\zeta^i \lambda$, $\lambda\in F(\lambda)\setminus F$, 则 $\omega$ 在 $F$ 上的极小多项式 $f$ 为 $p$ 次且零点两两相异. 任取 $\omega'$ 为 $f$ 在 $E$ 中不同于 $\omega$ 的零点, 则存在 $E$ 上保持 $F$ 的自同构群使得 $\psi:\omega\mapsto \omega'$. 不妨设 $\psi\equiv f_j$, 则 $\psi(\omega)=f_j(\omega)=\omega'$. 根据 Vitae 定理, $f$ 的常数项 $c=-\prod_{i=0}^{p-1}\omega_i\in F$. 然而, $-c^p=\lambda^p\cdot \prod_{i=0}^{p-1}\zeta^i=a\cdot 1$ 与 $X^p-a$ 的不可约性矛盾.
第二问 $\Rightarrow$: 设 $\lambda =\omega^2=(\alpha+\beta\lambda)^2$, 其中 $\alpha,\beta\in F$. 解得 $a=-4\alpha^4$. 第二问 $\Rightarrow$: 若 $a=-4\alpha^4$, 可验证 $\lambda =(\alpha -\alpha\lambda /2)^2$.
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引理 (iv) 证明 第一问 $\Rightarrow$ (的逆否命题): 显然.
第一问 $\Leftarrow$: 当 $a\notin \{s^p\mid s\in F\}$ 时, 取 $\lambda$ 为 $X^{p^n}-a$ 的一根, 则 $\lambda^{p^{n-1}}$ 为 $X^p-a$ 之根, 据引理 (i) 知 $[F(\lambda^{p^{n-1}}):F]=p$. 注意到 (a) $n=1$ 时, $\lambda$ 在 $F(\lambda ^{p^{n-1}})$ 上极小多项式为 $p^{1-1}$ 次, (b) 若 $n=k$ 时 $\lambda$ 在 $F(\lambda ^{p^{n-1}})$ 上极小多项式为 $p^{n-1}$ 次, 则根据 $\lambda^{p^{n-1}}\notin \{s^p\mid s\in F(\lambda ^{p^{n-1}})\}$ (引理 (iii)) 可知 $n=k+1$ 时 $\lambda$ 在 $F(\lambda ^{p^{n-1}})$ 上的极小多项式至少为 $p\cdot p^{n-1}$ 次, 从而只能为 $p^n$ 次. 因此 $X^{p^n}-a$ 在 $F$ 上不可约.
第二问 $\Rightarrow$ (逆否命题): 显然.
第二问 $\Leftarrow$: 若 $a\notin \{s^2\mid s\in F\}\cup \{-4 s^4\mid s\in F\}$, 记 $\lambda$ 为 $X^{2^n}-a$ 的一根. 由于 $[F(\lambda^{2^{n-1}}):F]=2$, 下仅需证明 $[F(\lambda):F(\lambda^{2^{n-1}})]=2^{n-1}$. 注意到 (a) $n=2$ 时显然, (b) 若 $n=k$ 成立, 欲证明 $n=k+1$ 时成立, (根据引理 (iii)) 只需证明 $\lambda^{2^k}$ 非 $F(\lambda^{2^k})$ 中平方数, 且 $-4\lambda^{2^k}$ 非 $F(\lambda ^{2^k})$ 中四次方数: 前者成立是因为归纳假设, 后者成立是因为 $F(\lambda ^{2^k})$ 上保持 $F$ 不变的自同构群 $\lambda^{2^k}\mapsto -\lambda^{2^k}$ 表明 $-\lambda^{2^k}$ 为平方数若且仅若 $\lambda^{2^k}$ 为平方数.
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Czhang271828
发表于 2022-8-7 17:03
