证明$f(x)=x^p-x+a\in\mathbb{F}_p[x]$ 不可约

业余的业余

$p$ 为质数，$\Bbb F_p$ 是有限域。$a\ne 0\in\Bbb F_p$.

求证 $f(x)=x^p-x+a \in\Bbb F_p[x]$ 在 $\Bbb F_p$ 中不可约。

Czhang271828

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CZhang 兄提出的思路是

1. 如果 $a$ 是 $f(x)=\cdots $ 的根，那么 $a+k, k\in\Bbb F_p$ 一共 $k$ 个都是 $f(x)$ 的根。

2. 假设某个度数 $1\le n=\deg(g)<p$ 的多项式 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，证明 $g(x)\not\in \Bbb F_p[x]$. 只需证 $x^{n-1}$ 项的系数 $c_{n-1}\not\in\Bbb F_p$.

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CZhang 兄，三楼对你思路的理解正确吗？

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abababa

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