$K = (3n)^2 + 3n + 1$的素因数$p$总是$\equiv1\pmod3$.
使用群论从 $p \mid (3n)^2+3n+1$ 推出 $p \mid (3n)^3-1$. 即 $3n$ 在 $\mathbb{F}_p$ 的阶为 $3$. 于是 $3\mid\phi(p)=p-1$, 即 $p \equiv 1 \pmod3$.
使用判别式如果一个二次式 $ax^2+bx+c$是素数 $p$ 的倍数，它的判别式必须是一个模 $p$ 的二次剩余。$(3n)^2+3n+1$的判别式为$b^2-4ac=1^2-4\times1\times1=-3$。这给出：
$$\bigg(\frac{-3}{p}\bigg)=1 \implies p \equiv 1 \pmod{3}$$ math.stackexchange.com/questions/3541394 | 
