比较大小$\frac{11}{10}-\frac{10}{11},\ln 1.2,\frac1{5\mathrm e^{0.1}}$

isee

源自知乎提问：zhihu.com/question/625062813/answer/3247581339

题：比较大小： $a=\frac{11}{10}-\frac{10}{11}$ ， $b=\ln 1.2$ ， $c=\frac1{5\mathrm e^{0.1}}$ .

常见不等式

$\mathrm e^{x}\geqslant x+1$ ;

$\color{blue}{\frac{2(x-1)}{x+1}\leqslant \ln x \leqslant\frac12(x-\frac1x),x\geqslant 1}$ (作差，求导即证) .

而 $\frac{11}{10}>1$ ，则有 \[b=\ln 1.2<\ln1.21=\ln 1.1^2=2\ln 1.1<\frac{11}{10}-\frac{10}{11}=a.\] 另一方面 \[5b=5\ln\frac65>5\cdot\frac{2(6/5-1)}{6/5+1}=\frac{10}{11}=\frac1{1+\frac1{10}}>\frac1{\mathrm e^{0.1}}=5c,\] 综上便有 $a>b>c$ .

Rachmani

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