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源自知乎提问
问：等轴双曲线 $xy=1$ 上三个不同的点 A，B，C ，若三角形 ABC 为正三角形，求其边长的最小值.
低门槛的可以直接解析法——这实际是等轴双曲线的性质：以过中心的弦为半径，端点为圆心交双曲线另外三个点，则这三点构成正三角形——如果要扯平几，那会涉及太多等轴双曲线的性质了.
设等轴双曲线上的关于原点对称的两点 $H(x_0,y_0)$ ， $H'(-x_0,-y_0)$， ${\color{blue}{x_0y_0=1}}$ ，则以 H 为圆心 $HH'$ 为半径圆 H 的方程为 \begin{gather*}
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=4x_0^2+4y_0^2\\[1ex]
x^2+y^2-2x_0x-2y_0y-3x_0^2-3y_0^2=0,
\end{gather*} 与 $xy=1$ 联立消 y 得到 \begin{gather*}
x^4+1-2x_0x^3-\frac2{x_0}x-\big(3x_0^2+\frac3{x_0^2}\big)x^2=0\\[1ex]
x_0^2x^4-2x_0^3x^3-\big(3x_0^4+3\big)x^2-2x_0x+x_0^2=0\\[1ex]
(x+x_0)\left(x_0^2x^3-3x_0^3x^2-3x+x_0\right)=0,
\end{gather*} 圆 H 与等轴双曲线的一个交点为 $H'(-x_0,-y_0)$ ，再设圆 H 与等轴双曲线的另外三个交点为 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ ， $C(x_3,y_3)$， 则 $x_1,x_2,x_3$ 是 $x_0^2x^3-3x_0^3x^2-3x+x_0=0$ 的三个根，由韦达定理有 \begin{gather*}
x_1+x_2+x_3=-\frac{-3x_0^3}{x_0^2}=3x_0,\\[1ex]
y_1+y_2+y_3=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac3{x_0}=3y_0,
\end{gather*} 即外心 $H(x_0,y_0)$ 也是 $\triangle ABC$ 的重心，故 $\triangle ABC$ 为正三角形.
从而 \[|AB|=\sqrt3|HH'|=2\sqrt3|OH|=2\sqrt3\sqrt{x_0^2+y_0^2}\geqslant 2\sqrt 3\sqrt{2x_0y_0}=2\sqrt6.\] 当且仅当 $H(1,1) \ \lor\ H(-1,-1)$ 时取得等号.
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kuing
发表于 2024-9-5 21:33
