球面三角不等式

hbghlyj

如果球面三角形的边是 $a, b$ 和 $c$，那么 $\sin a \leq \sin b + \sin c$

如果三角形是非退化的（点不在同一个大圆上，所有边和角都严格在 0 和 $\pi$ 之间），那么三角形不等式变为严格不等式，用 $<$ 代替 $\leqslant$。

引理 如果 $u>0$ 且 $|u-v| \leq 1$ 和 $|u+v| \leqslant 1$，那么在闭区间 $[-1,1]$ 上，二次函数 $f(x)=u x^2+2 v x+u+2 \geqslant 0$，在开区间 $(-1,1)$ 上 $>0$。

证明
情况 1，当 $|v|>u$
注意 $f(1)=2 u+2 v+2 \geqslant 0$ 和 $f(-1)=2 u-2 v+2 \geqslant 0$。函数 $f$ 的最小值点 $x=-v / u$ 在闭区间 $[-1,1]$ 之外。因此，$f$ 在区间内是单调的，结果成立。

情况 2，当 $|v| \leqslant u$
$u f(x)=u^2 x^2+2 u v x+u^2+2 u=(u x+v)^2+u^2-v^2+2 u>0$

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应用引理，令 $u=\sin a \sin b, v=\cos a \cos b,x=\cos C$。根据余弦定理 $\cos c=v+u x$。
$$
\begin{aligned}
\cos ^2 c&=(u x+v)^2=u f(x)-u^2+v^2-2 u \geqslant v^2-u^2-2 u, \\
\implies \sin ^2 c &\leqslant 1-v^2+u^2+2 u \\
& =\sin ^2 a+\cos ^2 a-\cos ^2 a \cos ^2 b+\sin ^2 a \sin ^2 b+2 \sin a \sin b \\
& =\sin ^2 a+\cos ^2 a \sin ^2 b+\sin ^2 a \sin ^2 b+2 \sin a \sin b \\
& =(\sin a+\sin b)^2 .
\end{aligned}
$$
注意，对于非退化三角形，$u f(x)>0$，不等式变为严格不等式。

hbghlyj

如果非退化球面三角形 $A B C$ 的边是 $a, b$ 和 $c$，那么它们满足三个三角形不等式，
$$a<b+c$$
$$b<c+a$$
$$c<a+b$$
这些不等式源于球面上两点之间的最短曲线是大圆。边还满足第四个不等式
$$
a+b+c<2 \pi
$$
这可以通过考虑三角形 $A_1 B C$ 来证明，其中 $A_1$ 是 $A$ 的对径点，边是 $a, \pi-b$ 和 $\pi-c$，因此 $a<(\pi-b)+(\pi-c)$。

这四个不等式是存在具有这三条边的球面三角形的充分必要条件。

不等式 $\sin a<\sin b+\sin c$ 可以从上述四个不等式得出。
证明
注意 $a, b,c\in(0,\pi)$,
$$
\begin{aligned}
\sin \frac{b+c}{2}-\sin \frac{a}{2} & =2 \sin \frac{b+c-a}{4} \cos \frac{a+b+c}{4}>0 \\
\cos \frac{b-c}{2}-\cos \frac{a}{2} & =2 \sin \frac{a+b-c}{4} \sin \frac{a-b+c}{4}>0
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{aligned}0<\sin \frac{a}{2}<\sin \frac{b+c}{2}\\
0<\cos \frac{a}{2}<\cos \frac{b-c}{2}
\end{aligned}
$$
相乘得 $0<\frac{1}{2} \sin a<\frac{1}{2}(\sin b+\sin c)$
这就是所需的不等式。

hbghlyj

为什么这么复杂？只需注意弧的 sin 是弦长，使用 R³ 距离即可得到 $\sin a \leq \sin b + \sin c$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-25 09:37
这四个不等式是存在具有这三条边的球面三角形的充分必要条件。

如何证明充分性？