三球公切面何时存在？

hbghlyj

三个球的公切面不一定存在，因为可以在两个大球之间放置一个小球使其处于两个大球的所有公切面包络的圆锥内，则不存在三个球的公切面。

如何判断$\mathbb{R}^3$中三个相离的球是否存在公切面？

下图：存在8个公切面的情形

hbghlyj

假设三个球的公共切平面方程为
$ n \cdot (x - x_0) = 0 $
其中 $n$ 满足 $n \cdot n = 1 $.

平面须满足中心到平面的距离分别为 $r_1, r_2, r_3$。所以如果 $x_1 , x_2, x_3$ 是三个中心的位置向量，我们要解
$ | n \cdot (x_1 - x_0) | = r_1 $
$ | n \cdot (x_2 - x_0) | = r_2 $
$ | n \cdot (x_3 - x_0) | = r_3 $

定义
$ s_1 = \operatorname{sgn}(n \cdot (x_1 - x_0) ) $
$ s_2 = \operatorname{sgn}( n \cdot (x_2 - x_0) ) $
$ s_3 = \operatorname{sgn}(n \cdot (x_3 - x_0 ) ) $
然后，假设 $r_1 , r_2 , r_3 \gt 0 $，方程变为
$  n \cdot (x_1 - x_0)  = s_1 r_1 $
$  n \cdot (x_2 - x_0)  = s_2 r_2 $
$  n \cdot (x_3 - x_0)  = s_3 r_3 $
取第一个和第二个方程的差，然后取第一个和第三个方程的差，得到
$ n \cdot (x_1 - x_2) = s_1 r_1 - s_2 r_2 $
$ n \cdot (x_1 - x_3) = s_1 r_1 - s_3 r_3 $
这是一个线性方程组，未知数是 $n$ 的三个分量。因此，解的形式为
$ n = n_0 + t n_1 $
其中 $n_0$ 和 $n_1$ 通过消元法得到，$t \in \mathbb{R}$ 待定。

为了确定 $t$，我们只需施加约束 $n \cdot n= 1 $，这转化为
$ (n_1 \cdot n_1) t^2 + 2 t (n_1 \cdot n_0) + (n_0 \cdot n_0) - 1 = 0 $
这将给出 $0, 1,$ 或 $2$ 个解。一旦我们有了 $n$，我们可以从原始方程的第一个方程中得到常数 $(n \cdot x_0)$，即
$ d = n \cdot x_0 = n \cdot x_1 - s_1 r_1 $
这样平面就完全确定了。
注意，如果我们反转线性方程组的所有符号，那么得到的法向量将只是原始符号得到的法向量的负数。所以如果我们用 $s_1 = 1 , s_2 = -1, s_3 = -1$ 得到 $ n $，那么我们将用 $s_1 = -1, s_2 = 1, s_3 = 1$ 得到 $ - n $。因此，我们只需要取以下组合 $ ( +, + , + ) , (+, +, - ) , (+, - , + ), ( -, + , + )$
这将为每个符号三元组生成两个平面，总共 $8$ 个可能的平面。
有人能简化上述内容以计算“解的存在条件”吗？