生成Bernoulli数的方法

hbghlyj

生成伯努利数的一种简单方法是Akiyama-Tanigawa算法。

算法如下：

从第$0$行开始 $1, \frac12, \frac13, \frac14 \ldots$
并定义第一行为 $$1\cdot(1-\frac12), 2\cdot(\frac12 - \frac13), 3\cdot(\frac13 - \frac14) \ldots$$
这产生了序列 $\frac12, \frac13, \frac14, \cdots$
然后定义下一行为 $$1\cdot(\frac12 - \frac13), 2\cdot(\frac13-\frac14), 3\cdot(\frac14-\frac15), \ldots$$ 因此第二行为 $\frac16, \frac16 \frac3{20}, \ldots $
一般来说，表示第$n$行的第$m$个数（$m = 0, 1, 2, \ldots$）为$a_{n,m}$，第$(n + 1)$行的第$m$个数$a_{n+1,m}$通过递归公式$a_{n+1,m} = (m + 1) \cdot (a_{n,m} - a_{n,m+1})$确定。
然后每行的第$0$个分量$a_{n,0}$（“主对角线”）就是第$n$个伯努利数$B_n$。

算法的输出如下所示：

并产生$B_1 = \frac12$的值，与Bernoulli的推导一致 - 现代标准为$B_1 = -\frac12$.

hbghlyj

假设我们使用上述三角形生成伯努利数 $B_0, B_1, B_2, \ldots$ 如何推导出以下递归关系：
$$B_n=1-\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}\frac{B_k}{n-k+1}$$
即
$$B_n=1-{n\choose 0}\frac{B_0}{n-0+1}-{n\choose 1}\frac{B_1}{n-1+1}-\cdots -{n\choose n-1}\frac{B_{n-1}}{n-(n-1)+1}$$
例如，我们从 $B_0=1, B_1=\frac{1}{2}$ 开始，然后 $B_2=1-{2\choose 0}\frac{B_0}{3}-{2\choose 1}\frac{B_1}{2}=1-\frac{1}{3}-2\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{6}$.