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源自知乎提问区
问：如何求 $\frac{\sqrt3}2\tan10^\circ+2\sin10^\circ$ 的值.
省流：法 3 也许是未曾想过的~结论 $\sqrt3\tan10^\circ+4\sin10^\circ=2$ ~提前祝新年快乐~
简单的三角函数恒等变换及求值化简概括起来就三种基本策略：
一是名称变换，如同角时切割化弦， $\cos70^\circ=\sin20^\circ$ 等等.
二是角的变换，如辅助角公式， $10^\circ=30^\circ-20^\circ$ ， $\alpha=(\alpha+\beta)-\beta$ 等等.
三是常值变换，如特别是常数 “1”： $\sin^2x+\cos^2x=1$ ， $\sin30^\circ=\frac12$ 等等.
再高级一点，就有升降幂，如降幂 $\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}2$ 等；万能代换，如 $\sin x=\frac{2\tan\frac x2}{1+\tan^2\frac x2}$ 等等.
简单的三角函数恒等变换常见技巧：和差化积，积化和差，切割化弦，降次等等，其中和差化积几乎是“降维打击”，当然起点也高，入手较难.
解法参考： $\frac{\sqrt3}2\tan10^\circ+2\sin10^\circ$ 已经是同角了，这很好，切化弦（法 0） \begin{align*}
\frac{\sqrt3}2\tan10^\circ+2\sin10^\circ&=\frac{\sqrt3\sin10^\circ}{2\cos 10^\circ}+2\sin10^\circ\\[1ex]
&=\frac{\sqrt3\sin10^\circ+4\sin10^\circ\cos10^\circ}{2\cos10^\circ}\\[1ex]
&=\frac{\sqrt3\sin{\color{red}{10^\circ}}+2\sin20^\circ}{2\cos10^\circ},\tag{01}
\end{align*} 这一步通分再用倍角公式 $2\sin10^\circ\cos10^\circ=\sin20^\circ$ 几乎是切化弦后必然组合拳，然后将 $20^\circ=30^\circ-10^\circ$ 凑角折分，这就是 Overseer 的回答——当然也能将分子第一项中红色角 ${\color{red}{10^\circ}}=30^\circ-20^\circ$ 凑角.
对 $(01)$ 式将分母的 2 配到分子中去进行常值代换（法 1），积化和差\begin{align*}
\cdots&=\frac{\frac{\sqrt3}2\sin{10^\circ}+\sin20^\circ}{\cos10^\circ}\\[1ex]
&=\frac{\cos30^\circ\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ}\\[1ex]
&=\frac{\frac12\left(\sin40^\circ-\sin20^\circ\right)+\sin20^\circ}{2\cos10^\circ}\\[1ex]
&=\frac{\sin40^\circ+\sin20^\circ}{2\cos10^\circ},
\end{align*} 再和差化积 \begin{align*}
\cdots&=\frac{2\sin30^\circ\cos10^\circ}{2\cos10^\circ}\\[1ex]
&=\frac12.
\end{align*} 如果第一步就常值代换 $\frac{\sqrt3}2=\cos30^\circ$ ，那么 tk09102018 的回答 第五个等号，就如法 1 类同（只是选择用的角不是最小的锐角）
小题小作（其实是辅助角思想，恒等式思想，法 2），令 $(01)$ 式为 $a$ ，即 \begin{gather*}
\frac{\sqrt3\sin10^\circ+2\sin20^\circ}{2\cos10^\circ}=a>0,\\[1ex]
\sqrt3\sin10^\circ-2a\cos10^\circ=-2\sin20^\circ,\\[1ex]
\sqrt{3+4a^2}\sin(10^\circ+\varphi_a)=2\sin(-20^\circ),\ \tan\varphi_a=\frac{-2a}{\sqrt3}
\end{gather*} 上式是恒等式，只需 ${\color{blue}{\sqrt{3+4a^2}=2}},\ \left(10^\circ+\varphi_a=-20^\circ\right)$ ，即 $a=\frac12$， $\varphi_a=-30^\circ$ ，此时满足 $\tan\varphi_a=\frac{-2a}{\sqrt3}$ . 即求式的结果为 $1/2$ .
忽略严谨性，只需要蓝色式成立即可.
以上方法，就是变换起来，把角 $10^\circ,\ 20^\circ$ 变换起来，不破不立.
若打破砂锅问到底，就要保留 $10^\circ$ 又如何呢？那用欧拉公式——不过，这里不采用指数形式，依然用三角形式（法 3，复数）——令 \begin{gather*}
{\color{olive}{\bm {z=\cos10^\circ+\mathrm i\sin10^\circ}}},\ z\bar z=|z|^2=1,\\[1ex]
\Rightarrow \cos10^\circ=\frac{z+\bar z}{2}=\frac{z^2+1}{2z},\\[1ex]
\quad\sin10 ^\circ=\frac{z-\bar z}{2}=\frac{z^2-1}{2z\mathrm i},
\end{gather*} ——这其实就是欧拉公式 $\mathrm e^{\mathrm ix}=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta$ 的应用——另一方面知 \[z^3=\cos\big(3\times10^\circ\big)+\mathrm i\sin\big(3\times10^\circ\big)=\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm i.\] 从而
\begin{align*}
\frac{\sqrt3}2\tan10^\circ+2\sin10^\circ&=\frac{\sqrt3}2\frac{z^2-1}{(z^2+1)\mathrm i}+2\frac{z^2-1}{2z\mathrm i}\\[1ex]
&=\frac{\sqrt3 (z^3-z)+2(z^3\cdot z-1)}{2(z^3+z)\mathrm i}\\[1ex]
&=\frac{\sqrt3 \left(\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm i-z\right)+2\left(\big(\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm i\big)z-1\right)}{2\left(\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm i+z\right))\mathrm i}\\[1ex]
&=\frac{-\frac12+\frac{\sqrt3}2\mathrm i+z\mathrm i}{2\left(\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm i+z\right)\mathrm i}\\[1ex]
&=\frac12.
\end{align*} |
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