包含正四面体的所有六条棱的表面的最小面积是？

hbghlyj

一个包含正四面体的所有六条棱的表面，它的最小面积是多少？


这个问题是三角形的费马点在空间的推广。三个内角均小于120°的三角形，费马点的位置P使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°。
在空间中，最小面积的表面中两个平面之间的二面角为120°。如何证明呢

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在 arxiv.org/pdf/1705.09122 说，这个最小面积的表面是由六条棱连接到中心的锥，如何证明呢？

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该表面由六个平面组成，每个平面呈等腰三角形，由四面体的一条棱包围。六个平面在四面体的中心相交。
三角形部分的两个内边各与另外两个表面相连。
四条线构成三角形表面的内边，每条线将四面体的顶点与其中心连接起来。每条线都是由三个三角形平面的相交形成的。任意两条线之间的角度为 arcos(-1/3) = 109°28'。
相邻三角形平面之间的二面角为 120°。

如何证明这个表面的面积最小呢？