三角不等式链

lihpb

\(
\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{C}{2}
\le
\frac{1}{2}(\csc A+\csc B+\csc C)
\le
\frac{1}{3}
(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2})
\le
\cot A+\cot B+\cot C
\)
等号成立的充要条件是三角形ABC为等边三角形，
特别地，当三角形ABC为锐角三角形时
\(
\sqrt{\cot A\cot B}+\sqrt{\cot A\cot C}+\sqrt{\cot B\cot C}
\le
\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{C}{2}
\le
\frac{1}{2}(\csc A+\csc B+\csc C)
\)\(
\le
\frac{1}{3}
(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2})
\le
\cot A+\cot B+\cot C
\)
所有等号成立的充要条件是三角形ABC为等边三角形

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=11839
是这个的加强版

kuing

都是简单的。

先看第一串，令 `x=\tan(A/2)` 等，则 `x`, `y`, `z>0`, `xy+yz+zx=1`，那么
\begin{align*}
\csc A&=\frac{1+x^2}{2x}=\frac{xy+yz+zx+x^2}{2x}=\frac12\left(x+y+z+\frac{yz}x\right),\\
\cot\frac A2&=\frac1x=\frac{xy+yz+zx}x=y+z+\frac{yz}x,\\
\cot A&=\frac{1-x^2}{2x}=\frac{xy+yz+zx-x^2}{2x}=\frac12\left(-x+y+z+\frac{yz}x\right),
\end{align*}
于是
\begin{align*}
&\sum\tan\frac A2\leqslant\frac12\sum\csc A\leqslant\frac13\sum\cot\frac A2\leqslant\sum\cot A\\
\iff{}&\sum x\leqslant\frac34\sum x+\frac14\sum\frac{yz}x\leqslant\frac23\sum x+\frac13\sum\frac{yz}x\leqslant\frac12\sum x+\frac12\sum\frac{yz}x,
\end{align*}
这整串三个不等号化简后都为
\[\sum x\leqslant\sum\frac{yz}x,\]
由均值可知上式显然成立。

第二串锐角三角形的，就是左边再添一个
\[\sum\sqrt{\cot A\cot B}\leqslant\sum\tan\frac A2,\quad(*)\]
这由 `\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1` 以及
\[\cot A=\frac{1-\tan^2\frac A2}{2\tan\frac A2},\]
解出 `\tan(A/2)` 并用柯西得
\begin{align*}
\tan\frac A2&=-\cot A+\sqrt{1+\cot^2A}\\
&=-\cot A+\sqrt{(\cot A+\cot B)(\cot A+\cot C)}\\
&\geqslant\sqrt{\cot B\cot C},
\end{align*}
所以式 (*) 成立。

PS、第二串式子超出边界太多，我编辑了一下，拆开成两行。