圆周角定理的推广 双曲线扇形

hbghlyj

点A,B,C在圆锥曲线上,O为中心,过O作AC,BC平行线交圆锥曲线于D,E,则S(扇形AOB)=2⋅S(扇形DOE)

例如等轴双曲线$x^2-y^2=1$,
设$D(\cosh d,\sinh d),E(\cosh e,\sinh e),A(\cosh a,\sinh a),B(\cosh b,\sinh b)$
要证明$$2(d-e)=a-b$$
即$$(\exp(d-e))^2=\exp(a-b)$$
即$$\left(\cosh d+\sinh d\over\cosh e+\sinh e\right)^2={\cosh a+\sinh a\over\cosh b+\sinh b}$$
即$$\left(\frac{x_D+y_D}{x_E+y_E}\right)^2=\frac{x_A+y_A}{x_B+y_B}$$

hbghlyj

把1#等式改编为：
双曲线上的点A,B,C,D,E,中心O,AC∥DO,BC∥OE,直线AB,DE与一条渐近线交于F,G,求证\[\frac{AF}{BF}=\frac{DG^2}{EG^2}\]
如何证明呢？

hbghlyj

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hbghlyj

等轴双曲线$x^2-y^2=1$，S(扇形AOB)=2⋅S(扇形DOE)
证明：设$D(\cosh d,\sinh d),E(\cosh e,\sinh e),A(\cosh a,\sinh a),B(\cosh b,\sinh b),C(-\cosh c,-\sinh c)$
由$OD\px AC,OE\px BC$得
\begin{align*}
d&=\arctanh\frac{\sinh a+\sinh c}{\cosh a+\cosh c}
\\e&=\arctanh\frac{\sinh b+\sinh c}{\cosh b+\cosh c}
\end{align*}
由和差化积公式，
\begin{align*}
d&=\arctanh\frac{\sinh a+\sinh c}{\cosh a+\cosh c}=\frac{a+c}2
\\e&=\arctanh\frac{\sinh b+\sinh c}{\cosh b+\cosh c}=\frac{b+c}2
\end{align*}
因此$2(d-e)=a-b$，由Hyperbolic functions得S(扇形AOB)=2⋅S(扇形DOE). $\Box$