动点最值问题

lrh2006

如图，三角形ABC中，AB=BC=4，$ \angle B=90\du ， $D为AC中点，E为BC上的动点，将$ \triangle CDE $沿DE翻折到C'DE位置，使点C'在平面ABC上的射影H落在线段AB上，则当E变化时，二面角C'-DE-A的余弦值的最小值是（ ）
很久没来了，有问题第一个想到的还是这里，先谢谢各位啦

kuing

记二面角 `C'`-`DE`-`A` 的大小为 `\theta`。
连结 `CH` 交 `DE` 于 `G`，易知 `CH\perp DE` 且 `\cos\theta=GH:GC'=GH:GC`。
这样就变成了平面上的问题，接下来你自己先试试。

lrh2006

kuing 发表于 2023-11-20 21:40
记二面角 `C'`-`DE`-`A` 的大小为 `\theta`。
连结 `CH` 交 `DE` 于 `G`，易知 `CH\perp DE` 且 `\cos\thet ...

我就是写到这里了，后面写不下去了。看到别人建系，用直线方程，点到直线的距离公式来求GH,GC长度，挺麻烦的，所以来请教大神，怎么做才好

kuing

lrh2006 发表于 2023-11-20 23:37
我就是写到这里了，后面写不下去了。看到别人建系，用直线方程，点到直线的距离公式来求GH,GC长度，挺麻 ...

用三角呗，设 `\angle HCA=\alpha`，则
\begin{align*}
CG&=2\sqrt2\cos\alpha,\\
CH&=\frac4{\cos(45\du-\alpha)},\\
\riff\frac{GH}{GC}&=\frac{CH}{GC}-1\\
&=\frac{\sqrt2}{\cos\alpha\cos(45\du-\alpha)}-1\\
&=\frac{2\sqrt2}{\cos45\du+\cos(45\du-2\alpha)}-1\\
&\geqslant\frac{2\sqrt2}{\cos45\du+1}-1\\
&=4\sqrt2-5.
\end{align*}

lrh2006

kuing 发表于 2023-11-21 00:05
用三角呗，设 `\angle HCA=\alpha`，则
\begin{align*}
CG&=2\sqrt2\cos\alpha,\\

噢噢，我知道了，我应该是把CH表示错了，然后出现了正切。说到底还是kk厉害，几条式子就把问题写明白了，谢谢你嘞

晚安，早点休息