一道概率统计

hjfmhh

在信道内传输 0,1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 0 的概率为 $\frac{3}{4}$，收到 1的概率为 $\frac{1}{4}$ ，发送 1 时，收到 0 的概率为 $\frac{1}{4}$ ，收到 1 的概率为 $\frac{3}{4}$．若第一个人发送信号 0 和 1 给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第六个人收到的信号为 0 和 1 的概率为?

【答案】$\frac{1}{2^{16}}+\frac{1}{2}$
解：发送信号 0 和 1，接收到信号为 0 和 1 的概率为 $\frac{9}{16}$，
发送信号 0 和 0，接收到信号为 0 和 1 的概率为 $\frac{3}{16}$，发送信号 1 和 1，接收到信号为 0 和 1 的概率为 $\frac{3}{16}$，发送信号 1 和 0，接收到信号为 0 和 1 的概率为 $\frac{1}{16}$，故发送信号是 0 和 0，或 1 和 1，或 1 和 0，接收到信号为 0 和 1 的概率为 $\frac{7}{16}$，

设 $P_n$ 表示第 $n+1$ 个人收到的信号为 0 和 1 的概率，则 $P_1=\frac{9}{16}$， $P_n=\frac{9}{16} P_{n-1}+\frac{7}{16}\left(1-P_{n-1}\right), P_n=\frac{1}{8} P_{n-1}+\frac{7}{16}, P_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\left(P_{n-1}-\frac{1}{2}\right)$,所以数列 $\left\{P_n-\frac{1}{2}\right\}$ 为等比数列，首项 $P_1-\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$，公比 $q=\frac{1}{8}, P_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{16} \times\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1}$，得 $P_n=$ $\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{8}\right)^n+\frac{1}{2}$，第六个人收到的信号为 0 和 1 的概率为 $P_5=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{8}\right)^5+\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{16}}+\frac{1}{2}$；

在算$P_1$时是不是错了，$P_1=\frac34\frac34+\frac14\frac14=\frac{10}{16}$，这题有没有其它方法？

战巡

这整个解法就是错的

1、信号不是摸球，是有顺序的，$0，1$和$1，0$不是一回事
楼上的人工智障也栽在这里

2、
它这个错误，出在递推式上
不妨令$X_n$表示第$n$个人收到的信号，则有
\[P_n=P(X_n=01)\]
\[=P(X_n=01|X_{n-1}=01)P(X_{n-1}=01)+P(X_n=01|X_{n-1}=10)P(X_{n-1}=10)\]
\[+P(X_n=01|X_{n-1}=00)P(X_{n-1}=00)+P(X_{n}=01|X_{n-1}=11)P(X_{n-1}=11)\]
\[=\frac{9}{16}P_{n-1}+\frac{1}{16}P(X_{n-1}=10)+\frac{3}{16}P(X_{n-1}=00)+\frac{3}{16}P(X_{n-1}=11)\]
后面三项里面，$P(X_{n-1}=00)=P(X_{n-1}=11)\ne P(X_{n-1}=10)$，是不能像它那样去合并的


实际上它这样两个信号一起做，纯属自找麻烦
一个一个做不就好了，反正都是独立的

令转移矩阵
\[A=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{pmatrix}\]
\[A^5=\begin{pmatrix}\frac{33}{64}&\frac{31}{64}\\\frac{31}{64}&\frac{33}{64}\end{pmatrix}\]
即经过5次传递后，正确率为$\frac{33}{64}$，那你传递两个信号就直接平方，有
\[P=\frac{33}{64}\cdot\frac{33}{64}=\frac{1089}{4096}\]

hbghlyj

记一次传输中  
保持原值的概率 = \( \frac{3}{4} \)，翻转的概率 = \( \frac{1}{4} \)。  

对任何一位，在连续传输中的马尔可夫链都是同一个转移矩阵  

\( T = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{bmatrix} \)。  

把“距 \( \frac{1}{2} \) 的偏差”拉出来会更直观：  
若 \( X_0 \in \{0,1\} \)，则  
\( P\{X_k = X_0\} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k \),  
\( P\{X_k \neq X_0\} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k \).

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计算第 6 个人手里的两位  

• 第一位最初是 0  
  ⇒ \( P\{\text{第 6 人看到第一位} = 0\}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2} + \frac{1}{64} = \frac{33}{64} \).  
• 第二位最初是 1  
  ⇒ \( P\{\text{第 6 人看到第二位} = 1\}=\) 同理也是 \( \frac{33}{64} \)  
  （因为“保持原值”的公式对 0、1 对称成立）  
• 两位噪声相互独立，所以最后同时出现 “0, 1” 的概率就是乘积：
  \( P\{\text{得到 0,1（顺序固定）}\} = \left(\frac{33}{64}\right) \times \left(\frac{33}{64}\right) = \frac{1089}{4096} \)

hjfmhh

请问题目中：第一个人发送信号0和1，第六个人收到信号为0和1，是不是0变五次后为0,1变五次后为1，因为33/64是0变化五次后为0的概率，也是1变化五次后为1的概率.，难道不用算第一个人发送信号0和1，0变化五次为1,1变化五次为0，这样不是第六个人收到信号也为0和1吗？