推广Eisenstein判别法

hbghlyj

Eisenstein判别法：
若整系数多项式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 满足存在一个素数 $p$，使得：

• $p \nmid a_n$
• $p \mid a_i$，对于 $0 \le i \le n-1$
• $p^2 \nmid a_0$

则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 上不可约。

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推广到数域 $K$ 的整环 $\mathcal{O}_K$ 上：
若 $\mathcal{O}_K$ 中的多项式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 满足存在一个 $\mathcal{O}_K$ 中的素元 $p$，使得：

• $p \nmid a_n$
• $p \mid a_i$，对于 $0 \le i \le n-1$
• $p^2 \nmid a_0$

则 $f(x)$ 在 $K$ 上不可约。

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示例：$K=\mathbb{Q}[\sqrt{3}],f(x) = x^2 + 2\sqrt{3} x + 2$
在 $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 中 $p=\sqrt{3}-1$ 是素元，$p\mid a_1,a_0$，$p^2\nmid a_0$（因为 $\frac2{p^2}\notin \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$）因此，$f(x)$ 不可约。

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更通用的推广是使用素理想而非素元：
若 $\mathcal{O}_K$ 上的多项式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 满足存在 $\mathcal{O}_K$ 的一个素理想 $\mathfrak{p}$，使得：

• $a_n \notin \mathfrak{p}$
• $a_i \in \mathfrak{p}$，对于 $0 \le i \le n-1$
• $a_0 \notin \mathfrak{p}^2$

则 $f(x)$ 在 $K$ 上不可约。

hbghlyj

示例：$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5}),f(x)=x^2+2x+(1+\sqrt{-5})$
尝试使用基于素元的版本：
判别法需要一个素元 $p \in \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 同时满足 $p \mid 2$ 和 $p \mid (1+\sqrt{-5})$。如果这样的素元 $p$ 存在，那么它的范数 $N(p)$ 必须同时整除 $N(2)=4$ 和 $N(1+\sqrt{-5})=6$。因此，$N(p)$ 必须整除 $\gcd(4, 6) = 2$。由于 $p$ 是一个素元，所以 $N(p) \neq 1$。唯一的可能性是 $N(p)=2$。然而，方程 $a^2+5b^2=2$ 没有整数解。因此，不存在范数为2的元素，也就不存在满足条件的素元 $p$。基于素元的判别法在这里无法应用。

使用基于素理想的版本：
虽然不存在合适的素元，但我们可以考虑素理想 $\mathfrak{p} = (2, 1+\sqrt{-5})$
验证判别法的条件：

• $a_2 = 1 \notin \mathfrak{p}$，因为 $\mathfrak{p}$ 不是整个环。
• $a_1 = 2 \in \mathfrak{p}$ 且 $a_0 = 1+\sqrt{-5} \in \mathfrak{p}$，由 $\mathfrak{p}$ 的定义可知。
• $a_0 = 1+\sqrt{-5} \notin \mathfrak{p}^2$。这是因为 $\mathfrak{p}^2=(2)$，而 $1+\sqrt{-5}\notin(2)$.

所有条件均满足，因此根据基于素理想的 Eisenstein 判别法，多项式 $f(x)$ 在 $K$ 上不可约。

这个例子清晰地表明了基于素理想的Eisenstein判别法比基于素元的版本更通用。