立几轨迹---双曲线

游客

已知异面直线 $a, b$ 所成角为 $60^{\circ}$，点 $A, B$ 分别在直线 $a, b$ 上，且直线 $A B$ 与 $a, b$ 均垂直，$P \in a, Q \in b$ ，且 $P A \cdot Q B$ 为定值，则线段 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹是 $\boxed{双曲线}$

kuing

这个很简单啊，首先投影一下变成平几问题，这时是斜坐标系，然后作个垂直，转化为直角坐标，由乘积为定值知是反比例函数，还原回斜坐标就是双勾函数，也就是双曲线。

kuing

噢还有，准确说应该是两条双曲线，因为这里是线段之积为定值，而不是向量数量积

游客

主要这里要转换的东西太多，坐标法求出的方程还不是标准方程，双钩也是用Y表示X的，。。。很费时间呢

有没有几何方面思路？

kuing

回复 4# 游客

用角平分线为轴建系就是标准方程了呗，推导也很简单。

由夹角 $60\du$ 可设 `a`, `b` 上的单位向量分别为 $\bm i=(\cos 30\du,\sin 30\du)$, $\bm j=(\cos 30\du,-\sin 30\du)$，令 $\vv{AP}=2p\bm i$, $\vv{BQ}=2q\bm j$，依题意有 $\abs{pq}=c$ 为定值，设 `AB` 的中点为 `O`，由 `M` 是中点知 $\vv{AP}+\vv{BQ}=2\vv{OM}$，即 $\vv{OM}=p\bm i+q\bm j=\bigl((p+q)\cos 30\du,(p-q)\sin 30\du\bigr)$，令 $x=(p+q)\cos 30\du$, $y=(p-q)\sin 30\du$ 解得 `p=x/\sqrt3+y`, `q=x/\sqrt3-y`，所以 `M` 的轨迹方程就是
\[\left|\frac{x^2}3-y^2\right|=c.\]

敬畏数学

回复 5# kuing
暂时没有想法。